线代 1.设A是n阶矩阵，且（条件请看图），证A+E不可逆。 2.求图中这个行列式的值。

Question

3.设A是实对称矩阵，A^2=0,证明A=0
没有人来么？！

Answer 1

以下以A'代表A的转置，以A^(-1)代表A的逆矩阵。
1、|A+E|=|A'+E|=|A^(-1)+E|=|A^(-1)|*|A+E|=-|A+E|，所以|A+E|=0，A+E不可逆。
2、A^2=AA'=0，AA'的第k个主对角线元素是(ak1)^2+(ak2)^2+...+(akk)^2=0，所以ak1=ak2=...=akk=0，k=1,2,...,n。所以A的所有元素都是0，A=0。
3、按照第一列展开可得递推公式Dn=(α+β)×D(n-1)-αβ×D(n-2)，所以Dn-αD(n-1)=β[D(n-1)-αD(n-2)]，数列{Dn-αD(n-1)}是公比为β的等比数列，首项D2-αD1=β^2。所以Dn-αD(n-1)=β^n。
同理可以推出Dn-βD(n-1)=α[D(n-1)-βD(n-2)]，数列{Dn-βD(n-1)}是公比为α的等比数列，首项D2-βD1=α^2。所以Dn-βD(n-1)=α^n。
联立Dn-αD(n-1)=β^n与Dn-βD(n-1)=α^n可得Dn=[α^(n+1)-β^(n+1)]/(α-β)或α^n＋α^(n-1)β＋α^(n-2)β^2＋......＋αβ^(n-1)＋β^n。追问

|A^(-1)+E|=|A^(-1)|*|A+E|这个没看明白。。。

追答

把A^(-1)+E中的A^(-1)提出了，A^(-1)+E=A^(-1)(A+E)