已知a, b, c∈R，且a2+b2+c2=1, ab+bc+ca的最大值为M，最小值为N，则MN=___________.

Question

如题所述

Answer 1

你好，因为2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0所以：2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)即：ab+bc+ca≤a2+b2+c2＝1同理：2(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)=(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2≥0即：ab+bc+ca≥-(a2+b2+c2)＝-1所以：最大值M为1，最小值N为-1故MN=-1

Answer 2

设b=c。∴a�0�5+2b�0�5=a�0�5+b�0�5+c�0�5=1。∴a�0�5=1-2b�0�5。
设y=ab+bc+ca=2ab+b�0�5。y�0�5-2b�0�5y+b^4=(y-b�0�5)�0�5=(2ab)�0�5=4a�0�5b�0�5=4(1-2b�0�5)b�0�5。9b^4-(2y+4)b�0�5+y�0�5=0
0≤⊿=(2y+4)�0�5-4*9*y�0�5=-32y�0�5+16y+16=-16(2y�0�5-y-1)=-16(2y+1)(y-1)。∴N=-1/2≤y≤1=M。∴MN=-1/2