求一道国际奥林匹克数学竞赛试题

Question

已知x>=y>=z>0
证:x²y/z+y²z/x+z²x/y≥x²+y²+z²
请不要做到一半又不做了

Answer 1

左-右=x^2(y-z)/z+y^2(z-x)/x+z^2(x-y)/y≥x^2(y-z)/x+y^2(z-x)/x

+z^2(x-y)/x=(x-y)(y-z)(x-z)/x≥0

2.仅供参考：

设x=y+a,z=y-b,则a>=0,0<=b<y,

原不等式等价于x^3*y^2+.....>=xyz*(x^2+y^2+z^2)

代入化解(一定计算量)即为

a^2*(y^3-b^3)+aby(y^2-b^2)+(y^3*b^2+3a*b^2*y^2+a^3*b*y+3a^2*b^2*y)>=0

而这是显然的........

Answer 2

我觉得这个好象很简单啊，你看要证明的这个式子，你可以证明
x²y/z≥x²
z²x/y≥z²
y²z/x≤y²
前两个都能看出来
y/z≥1
x/y≥1
也就是证明
y/z+x/y+y²z/x≥y²
剩余的我不会了，等待其他人回答你吧

Answer 3

太难了