谁能证明一下导数四则运算的乘和除

Question

如题所述

Answer 1

解:证明:(1)导数乘法法则证明:[f(x)g(x)]'=lim(Δx→0)[f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x)]/Δx=lim(Δx→0)[f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x+Δx)+f(x)g(x+Δx)-f(x)g(x)]/Δx=lim(Δx→0){g(x+Δx)[f(x+Δx)-f(x)]/Δx}+lim(Δx→0){f(x)[g(x+Δx)-g(x)]/Δx}=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)(2)导数除法法则证明:[f(x)/g(x)]'=lim(Δx→0){[f(x+Δx)/g(x+Δx)]-[f(x)/g(x)]}/Δx=lim(Δx→0){[f(x+Δx)g(x)-g(x+Δx)f(x)]/g(x+Δx)g(x)Δx}=(1/g(x)^2)lim(Δx→0){[f(x+Δx)g(x)-g(x+Δx)f(x)]/Δx}=(1/g(x)^2)lim(Δx→0){[f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-g(x+Δx)f(x)]/Δx}=(1/g(x)^2)lim(Δx→0){g(x)[f(x+Δx)-f(x)]/Δx-f(x)[g(x+Δx)-g(x)]/Δx}=(1/g(x)^2)[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]