在三角形ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边长，且a=3,A=派/3，点D在BC边上。 (一)，若AD为角A的平分线...

Question

在三角形ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边长，且a=3,A=派/3，点D在BC边上。 (一)，若AD为角A的平分线，且BD=1,求b:c (二)若AD为三角形ABC的中线，求AD最大值

Answer 1

(1)AD是角A的平分线,则有b:c=CD:BD=(3-1):1=2:1

(2)AD是中线,则有BD=CD=a/2=3/2.
b^2=AD^2+CD^2-2AD*CD*cosADC
c^2=AD^2+BD^2-2AD*BD*cosADB
又有角ADC+ADB=180,则有cosADC=-cosBDA
上二式相加得到b^2+c^2=2AD^2+a^2/2
AD^2=(b^2+c^2-a^2/2)/2
a^2=b^2+c^2-2bccosA=b^2+c^2-bc=9
bc<=(b^2+c^2)/2
9=b^2+c^2-bc>=(b^2+c^2)/2
即有b^2+c^2<=18
故有AD^2<=(18-9/2)/2=9-9/4=27/4
AD<=3根号3/2
即AD的最大值是:3根号3/2

Answer 2

①由正弦定理得：1／sin(∏／6)＝c／sin∠ADB，→2＝c／sin∠ADB…甲；
2／sin（∏／6）＝b／sin(2∏－∠ADB)，→4＝b／sin∠ADB…乙；
甲代入乙：2c＝b…丙；
由余弦定理得：3²＝b²＋c²－2bccos∠(∏／3)＝b²＋c²－bc，将丙代入得： 9＝3c²,
∴c＝√3，b＝2√3。
②有余弦定理得：1.5²＝AD²＋b²－2AD·bcos(∏／6)＝AD²＋b²－√3AD·b；
1.5² ＝AD²＋c²－2AD·ccos(∏／6)＝AD²＋c²－√3AD·c；
二式相减得：b²－c²－√3AD(b＋c)＝0，代入已求c、b值得：AD＝1。

Answer 3

不好意思，我只做出了第一问，帮不了你了，