已知x+y=1 求y/(1+x) +x/(1+y)的最大值和最小值

Question

如题所述

Answer 1

解：
已知x+y=1
y/(1+x) +x/(1+y)

=y(1+y)/[(1+x)(1+y)]+x(1+x)/[(1+x)(1+y)]
=[y(1+y)+x(1+x)]/[(1+x)(1+y)]
=(x²+y²+x+y)/(xy+x+y+1)
=(x²+y²+1)/(xy+2)
=(x²+2xy+y²-2xy+1)/(xy+2)
=[(x+y)²-2xy+1]/(xy+2)
=(-2xy+2)/(xy+2)
=(-2xy-4+6)/(xy+2)
=[-2(xy+2)+6]/(xy+2)
=-2+6/(xy+2) ①

由x+y=1
令xy=p
则x、y是一元二次方程x²-x+p=0的两根
由Δ=1-4p≥0得
p≤1/4
即xy≤1/4
xy+2 ≤9/4 ②

由①②得
y/(1+x) +x/(1+y)∈(-∞ ，-2)∪[2/3 ，+∞)

于是，严格的说，y/(1+x) +x/(1+y)没有最大值也没有最小值，或者说y/(1+x) +x/(1+y)的最大值是+∞，最小值是-∞；当然，也可以这么说，y/(1+x) +x/(1+y)的最大负值趋近于-2，最小正值是2/3。

最后，祝学习愉快，呵呵。来自：求助得到的回答

Answer 2

3，87