拐点的第一充分条件为什么只是充分的而不是必要的？

Question

(拐点的第一充分条件) 设函数f(x)在x0的某邻域内具有二阶导数若在x0的两侧f″(x)异号，则(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的一个拐点，若在x0的两侧f″（x）同号，则(x0，f(x0))不是曲线的拐点

Answer 1

充分性就不用说了，你肯定知道，不必要性是因为f″（x0）不存在时，(x0，f(x0))也有可能是曲线y=f(x)的一个拐点追问

可是充分的条件中包含了为零或不存在啊，能说详细一点吗？

追答

你注意一下：必要性的证明是要证明命题：
若(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的一个拐点，则函数f(x)在x0的某邻域内“具有二阶导数”，若在x0的两侧f″(x)异号，则(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的一个拐点，若在x0的两侧f″（x）同号，则(x0，f(x0))不是曲线的拐点。
该命题没有包括在x0处二阶导数不存在的情况，故命题不成立！
比如分段函数f(x)=-x ，x<0
f(x)=x ，x≥0
(0,0)点是函数图像的拐点，但很显然f(x)在x=0的邻域内不具有二阶导数。
而实际上,正确的命题应该是若(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的一个拐点，必然有f''(x0)=0或者f''(x0)不存在。

追问

1."但很显然f(x)在x=0的邻域内不具有二阶导数"这句话是为什么？
2.设函数f(x)在x0的某邻域内具有二阶导数（f''(x0)=0或不存在）。若在x0的两侧f″(x)异号，则(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的一个拐点，若在x0的两侧f″（x）同号，则(x0，f(x0))不是曲线的拐点。这句话是对的吧？
3.“若在x0的两侧f″(x)异号，则(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的一个拐点，……”这句话不用倒过来写吗？

追答

"但很显然f(x)在x=0的邻域内不具有二阶导数"——这句话是因为f(x)在x=0处根本没有导数，更不用说二阶导数了！

设函数f(x)在x0的某邻域内具有二阶导数（f''(x0)=0或不存在）。若在x0的两侧f″(x)异号，则(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的一个拐点，若在x0的两侧f″（x）同号，则(x0，f(x0))不是曲线的拐点。这句话是对的吧？——应该改为函数f(x)在x0的某“去心邻域”内具有二阶导数，且f''(x0)=0或不存在，则当在x0的两侧f″(x)异号，(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的一个拐点，当在x0的两侧f″（x）同号，则(x0，f(x0))不是曲线的拐点。

“若在x0的两侧f″(x)异号，则(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的一个拐点，……”这句话不用倒过来写吗？——若(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的一个拐点，必然有f''(x0)=0或者f''(x0)不存在，但不能说明在x0的两侧f″(x)异号，因为有些特殊函数根本就不存在二阶导函数，但(x0，f(x0))却是其拐点！

追问

第三个问题的意思是把充分性改写成必要性时，只把前半句倒过来，后半句不用倒过来？

追答

是的

Answer 2

f的二阶导数不存在或为零，不能断定为曲线y=f的拐点
由拐点的定义可以知道,
若点(x,f(x)
)为曲线y=f(x)的拐点,
则f(x)的二阶导数等于0,
而若f(x)的二阶导数等于0,并不能保证点(x,f(x)
)为曲线y=f(x)的拐点,
还需要条件在这一点f(x)的三阶导数不等于0
所以
f(x)的二阶导数等于0,
是点(x,f(x)
)为曲线y=f(x)的拐点
的必要不充分条件