设X=X1²+X2²+X3²+·····Xn² 即X服从自由度为n的卡方分布 E(X)=E(X1²)+E(X2²)+E(X3²)+·····E(Xn²) 又因为X1····Xn服从标准正态分布
所以E（X1²）=∫（上下限分别为±∞）（x²f（x）dx 【f(x)是标准正态分布的概率密度函数】然后把这个积分求出可以得E(X1²)=1 所以E(X)=E(X1²)+E(X2²)+E(X3²)+·····E(Xn²)=n
扩展资料
为什么从正态总体中抽取出的样本的方差服从分布
在抽样分布理论一节里讲到，从正态总体进行一次抽样就相当于独立同分布的 n 个正态随机变量ξ1，ξ2，…，ξn的一次取值，将 n 个随机变量针对总体均值与方差进行标准化得(i=1,…,n)，显然每个都是服从标准正态分布的，因此按照 分布的定义，应该服从参数为 的 分布。
如果将总体中的方差σ2 用样本方差 s2代替，它是否也服从 分布呢？理论上可以证明，它是服从 分布的，但是参数 不是 n 而是 n-1 了，究其原因在于它是 n-1 个独立同分布于标准正态分布的随机变量的平方和
我们常常把一个式子中独立变量的个数称为这个式子的“自由度”，确定一个式子自由度的方法是：若式子包含有 n 个变量，其中k 个被限制的样本统计量，则这个表达式的自由度为 n-k。比如中包含ξ1，ξ2，…，ξn这 n 个变量，其中ξ1-ξn-1相互独立，ξn为其余变量的平均值，因此自由度为 n-1。
简介编辑
分布在数理统计中具有重要意义。 分布是由阿贝(Abbe)于1863年首先提出的，后来由海尔墨特(Hermert)和现代统计学的奠基人之一的卡·皮尔逊(C K．Pearson)分别于1875年和1900年推导出来，是统计学中的一个非常有用的著名分布。
定义
若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和 构成一新的随机变量，其
卡方分布
分布规律称为分布（chi-square distribution），其中参数 称为自由度，正如正态分布中均数或方差不同就是另一个正态分布一样，自由度不同就是另一个分布。
卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度 很大时， 分布近似为正态分布。
对于任意正整数x， 自由度为 的卡方分布是一个随机变量X的机率分布。
参考资料：百度百科 卡方分布