可逆矩阵必须要满足充分性和必要性吗？

Question

如题所述

Answer 1

充分性：A=0,则A'=0(由转置的定义)，则A'A=0(由矩阵乘法的定义)。必要性：当A'A=0时，我们取任意的非零向量x,就会有x'(A'A)x=0。

矩阵的乘法具有结合律上式就变成了(x'A')(Ax)=0由转置的脱衣原则,上式就变成了(Ax)'(Ax)=0。n*n矩阵与n*1阶矩阵相乘.因此Ax是一个n维列向量。由上边的式子就得到了Ax=0,知道x是任意非零向量,因此A=0。

扩展资料

举例：

矩阵A可逆的充分必要条件是：它的特征值不等于0

先证必要性：即左推右

如果矩阵A可逆,我们假设A有特征值0,那么根据求特征值的定义有Ax = 0*x = 0 ,而且其中x为非0向量,所以这就说明Ax=0有非零解,从而推出A不满秩,从而推出A不可逆,与已知矛盾。

所以A的特征值不等于0。

再证充分性：即右推左

如果A的特征值不等于0,那么可以设特征值分别为λ1,λ2,……,λn，根据 |A| = λ1*λ2*……*λn 不等于0,说明A行列式不等于0，所以A可逆。

所以矩阵A可逆的充分必要条件是：它的特征值不等于0。