已知f(x)在x=0处可导,且f(0)=0,求极限limx趋于0,x²f(x)-2f(x³)/x³

Question

设函数 F(x)在x=0处可导 又F(0)=0,求lim(x→0) F(1-cosx)/tan(x²)

Answer 1

lim(x→0) F(1-cosx)/tan(x²)
=lim(x→0) {[F(1-cosx)-F(0)]/[1-cosx]} *[1-cosx]/tan(x²)
=lim(x→0) {[F(1-cosx)-F(0)]/[1-cosx]} *[x^2/2]/x²
【x->0:1-cosx~x^2/2,tan(x²)~x^2;等价无穷小替换】
=F'(0)/2
【x->0:1-cosx->0,导数定义】