极坐标中，表达式p=2a*cosx，用积分求该曲线所围成图形的面积。计算时积分的上下限怎么确定？

Question

极坐标中，表达式p=2a*cosx，用积分求该曲线所围成图形的面积。计算时积分的上下限怎么确定？（不想化成直角坐标系用圆的面积做） 这种题极坐标的上下限都不会求…麻烦讲解一下… 谢谢啦！

Answer 1

其实化为直角坐标方程是最好找出θ的范围的
不过经过画图后依然能确定θ的范围，为- π/2→π/2
极坐标下的图形面积公式A = ∫(a→b) (1/2)r^2 dθ
所求面积 = ∫(- π/2→π/2) (1/2)ρ^2 dθ，被积函数为偶函数
= 2∫(0→π/2) (1/2)(2acosθ)^2 dθ
= 4a^2∫(0→π/2) (cosθ)^2 dθ
= 4a^2∫(0→π/2) (1 + cos2θ)/2 dθ
= 2a^2[θ + (1/2)sin2θ] |(0→π/2)
= 2a^2(π/2)
= πa^2追问

请问化为直角坐标方程后是如何不画图确定角度范围的？
上下限不会找！
麻烦详细解释一下好么，谢谢！

追答

r = 2acosθ
r² = 2a * rcosθ
x² + y² = 2a * x
x² - 2ax + a² + y² = a²
(x - a)² + y² = a²
可见圆心在x轴上，而且半径正好等于圆心的x坐标
所以圆形关于x轴对称且经过原点，于是能确定θ的范围是- π/2到π/2了
这个方程的角度范围算是好找了，如果是心形，星形，叶片或者重叠图形那些真要画图了...
角度范围就是解方程比较好找，那是针对重叠图形的方法

Answer 2

面积=1/2 r*rdtheta积分 (三角形面积）
=4a^2 cos^2 x dx = a^2 (1-cos2x)dx
因为cos2x的周期为派，所以积分区间为0-〉派
这样结果=派*a^2
该极坐标方程为半径是a的圆