如何用动能定理和动量定理讨论弹性正碰

Question

怎么用m1v1=m1v1`+m2v2`和动能定理推导v1`=,v2`=，怎么化，详细点

Answer 1

这种碰撞方程挺常见的，练下手吧。

现在给个稍微复杂的情况吧。

不管怎么碰，动量定理总是对的：
m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2'
能量守恒稍微有些麻烦。仅在弹性碰撞的时候，有如下式子：
m1v1^2 + m2v2^2 = m1v1'^2 + m2v2'2 （二分之一化简掉了）
如果不是弹性碰撞，比如最后两个东西粘到一起了，或者是两个物体之间多出了个弹簧什么的，那么方程就会多出一项能量E：
(1/2)m1v1^2 + (1/2)m2v2^2 = (1/2)m1v1'^2 + (1/2)m2v2'2 + E

高中一般不会解第二种情况，这种方程解起来太费劲了，没人那么无聊。
说一下第一种情况的方程的一般解法吧。把动量定理方程重新整理，为：
m1(v1 - v1') = -m2(v2 - v2')
吧能量守恒方程重新整理，得：
m1(v1^2 - v1'^2) = -m2(v2^2 - v2'^2)
因式分解，为：
m1(v1 - v1')(v1 + v1') = -m2(v2 - v2')(v2 + v2')

将能量守恒这个式子除以动量守恒那个式子，有：【这里打个*号，一会儿说明。】
v1 + v1' = v2 + v2'
把这个式子和动量定理的式子重新整理，得到线性方程组：
1. v1' - v2' = -v1 + v2
2. m1v1' + m2v2' = m1v1 + m2v2
这样就变成解线性方程，很容易了。
解方程即可。最后一步你自己算一下吧，我这里没纸没笔，不好算方程组。

说明1：
做个偏数学的讨论。我们一开始解的方程组是二元二次方程组（能量守恒是二次方程），为什么最后只得到一组解呢？因为*号除对方程做了一个除法，这个除法的前提条件是除数不为0，所以做除法就忽略了一组解，这组解就是
m1(v1 - v1') = -m2(v2 - v2') = 0

也就是v1' = v1，v2' = v2
其实这就是没发生碰撞的情形。
可以理解为，满足一组动量、能量守恒的方程有两组解，物理上弹性碰撞的过程从数学上就是让两个物体的速度从一组解跳到另一组解。因此，发生弹性碰撞的两个物体，要是掉个头再碰撞一次，会发现速度又变回最开始那组速度了。

说明2：
个人感觉考试不大可能考这个。因为解方程太偏数学了。考试更可能考一种非弹性碰撞的特例：就是完全粘滞碰撞，就是碰完了完全粘在一起，v1' = v2' = v'。这个时候相当于少了一个未知数，只用动量定理就可以解出末速度：
m1v1 + m2v2 = m1v' + m2v'
把v'代入能量守恒，可以算出耗散的能量E：
(1/2)m1v1^2 + (1/2)m2v2^2 = (1/2)m1v'^2 + (1/2)m2v'2 + E
反过来，也可以算一个飞行的炮弹裂成两瓣的情形，从而算所需要的化学能。

Answer 2

提示：弹性碰撞中动能守恒、动量守恒，列方程并解方程组，再对结果讨论。

Answer 3

你既然这么问，应该知道怎么列式子～～但具体解法仍需要自己一步一步的尝试，这样映像才深刻。。多花点时间想想吧，有好处的～

Answer 4

看不明白，不过动量守恒就是质量与速度相乘，其定律为：物体组成的系统在不受外力或所受外力的合力大小为零时，系统的总动量保持不变，称为动量守恒。 多谢采纳