高考数列大题求解

Question

在数列{an}中，a1=1,an+1=(1+1/n)an+(n+1)/2的n次方
（I）设bn=an/n，求数列{bn}的通项公式
（II）求数列{an}的前n项和Sn

Answer 1

⑴ a(n+1)=(1+1/n)an+(n+1)/2^n
a(n+1)=[(n+1)/n]an+(n+1)/2^n
两边同除(n+1)得：a(n+1)/(n+1)=an/n+1/2^n
b1=a1/1=1
b(n+1)-bn=1/2^n
n>=2时
b2-b1=1/2
b3-b2=1/2^2
……
bn-b(n-1)=1/2^(n-1)
把以上n-1个等式相加：bn-b1=bn-1=1/2+1/2^2+…+1/2^(n-1)=1-1/2^(n-1)
bn=2-1/2^(n-1)，b1=1也适合此式。
所以，数列{bn}的通项公式为：bn=2-1/2^(n-1)，(n为正整数)
⑵

bn=an/n=2-1/2^(n-1)
an=2n-n/2^(n-1)
Sn=2-1/2^0+4-2/2+6-3/2^2+…+2n-n/2^(n-1)
=(2+4+6+…+2n)-[1/2^0+2/2+3/2^3+…+n/2^(n-1)]
=n(n+1)-[1/2^0+2/2+3/2^3+…+n/2^(n-1)]
设Tn=1/2^0+2/2+3/2^3+…+n/2^(n-1) (1)
(1/2)*(1)得：(1/2)Tn=1/2+2/2^2+3/2^3+…+n/2^n (2)
(1)-(2)得：
(1/2)Tn=1+1/2+1/2^2+1/2^3+…+1/2^(n-1)-n/2^n=2-1/2^(n-1)-n/2^n
Tn=4-1/2^(n-2)-2n/2^(n-2)=4-(2n+1)/2^(n-2)
Sn=n(n+1)-Tn=n(n+1)+(2n+1)/2^(n-2)-4，n为正整数。
注：”∧n“指”n次方“
希望回答对你有帮助。追问

请问第一小问，为什么要同除以n+1

追答

同除以n+1后就可以构造等比数列了，这是个常用的方法，如a(n+1)=pan+q，则有公式：
令λ=q/(p-1),变成a(n+1)+λ=p(an+λ), [a(n+1)+λ]/(an+λ)=p这是等比数列，你就可以用同乡公式了。

Answer 2

(1)a[n+1]=[(n+1)/n]a[n]+(n+1)/2^n，两边同时乘1/(n+1)，得a[n+1]/(n+1)=a[n]/n+1/2^n即b[n+1]-b[n]=1/2^n，累加得b[n]-b1=1-1/2^(n-1)(n≥2)，而b1=a1/1=1，所以b[n]=2-1/2^(n-1)(n≥2)，因为n=1时该式亦成立，所以b[n]=2-1/2^(n-1)(n∈N+)
(2)b[n]=a[n]/n=2-1/2^(n-1)，所以a[n]=2n-n/2^(n-1) 求和的时候用分组求和，前面那一部分用等差数列求和公式，后面那部分用错位相减法，过程我就省去了，最后结果是
S[n]=n(n+1)+(n+2)/2^(n-1)-4

Answer 3

。。。同学，你不给题目怎么解答？追问

不好意思，刚刚在打，麻烦帮忙解答一下好吗