可导与连续

Question

先声明一下，本人下学期就要学导数了，所以在自学，请回答者慎重回答，满意的话一定有高分，然后切入正题，1.关于可到与连续，连续的定义是左右极限存在且相等，那么在这里我想问一下，这个极限值是不是等于该函数等于X0时的数值，就是这个数是否在函数中，关于可导的定义模糊不清，请解释一下，还有就是什么是左导数和右导数，2.可导一定连续，连续不一定可导这句话用集合来说是不是可导是连续的真子集，那么这两者到底差在哪里，可能问题有些重复，但请务必仔细看完，然后帮我解答，谢谢了，先给出5分，好的一定加分

Answer 1

关于函数的可导导数和连续的关系：

1、连续的函数不一定可导。

2、可导的函数是连续的函数。

3、越是高阶可导函数曲线越是光滑。

4、存在处处连续但处处不可导的函数。

左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左极限=右极限（左右极限都存在）。连续是函数的取值，可导是函数的变化率，当然可导是更高一个层次。

函数在某点可导的充要条件是左右导数相等且在该点连续。

显然，如果函数在区间内存在“折点”，（如f(x)=|x|的x=0点)则函数在该点不可导。

拓展资料：

因为函数在闭区间上连续要求左端点右连续、右端点左连续；而函数可导则要求函数在一点的左右导数均存在且相等，若为闭区间，则只能验证左端点是否有右导数，右端点是否有左导数，故函数在闭区间的端点处不可导。

可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等,则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。

如果函数y=f（x）在点x处可导，则函数y=f（x）在点X处连续，反之，函数y=f（x）在点x处连续，但函数y=f（x)处不一定可导。

参考资料：可导百度百科

Answer 2

1、连续的定义是左右极限相同且等于该点函数值。
比如说：y=0（x≠0）y=1（x=0）这个函数在零点就不连续，因为左极限等于右极限等于0但0点函数值是1.
可导的定义就是导数存在，在x0点可导指的就是x趋向于x0时(f(x)-f(x0))/(x-x0)这个东西的极限存在。
左导数就是x从左边趋向x0，右导数就是x从右边趋向x0
2、可导的函数是连续函数的真子集没错。
连续不一定可导的例子：y=|x|,这个函数在0点连续，但是左导数=-1，右导数=1，所以不可导。追问

那么这两者的联系我还是看大不出来，你能证明一下吗

追答

你是指可导一定连续的证明？

可导→导数存在→x趋向于x0时，(f(x)-f(x0))/(x-x0)极限存在。
显然x趋向于x0时，分母x-x0趋于0
所以要让极限存在则分子必然也趋于0
所以x趋向于x0时f(x)=f(x0),于是推出连续

连续不可导例子就是上面那个。

Answer 3

可导必连续，连续未必可导。就是说，还存在有一些函数至少在一个区域内处处连续，但是处处不可导。

Answer 4

这问题问得好，可以看出你确实是在认真思考了。
1，极限值一定等于该函数等于X0时的数值，例如一个分段函数f(x)=x x≠1时
=2 x=1时
这样一个函数在x=1点的左右极限都存在且都等于1，但是在在x=1点的函数值f(1)=2却不等于极限值，因此f(x)在x=1点不连续，x=1这个点即为所谓的可去间断点，可通过补充定义f(1)=1而使f(x)在x=1点连续，因此叫可去间断点。
2，可导是连续的真子集这种说法倒是头一次听说，不过想想也没错。连续只能保证f(x)在某点的左右极限相等并等于该点函数值，但不能保证导函数f'(x)在该点的左右极限相等，而后者才是可导的要求，例如f(x)=x的绝对值在x=0处连续但不可导。追问

所以我们再说的左导数和右导数是指导数中的左右极限，对吗
就像y=x^3在x等于零时左右极限虽然相等但是不可导

追答

对，你是想说y=x^(1/3)吧，它在x=0处连续，但在x=0处的导数是无穷大，导函数的极限不存在，在几何上就反映原点处的切线是垂直于x轴的。

追问

所以所谓的极限值要是一个确定的数是吗即使画出了导函数的图像，也并不代表上面每一点都是导数

追答

没错，我们有时说极限等于无穷大只是一种方便的说法，极限等于无穷大是极限不存在的一种情况。函数图象上如果某点x0的切线是平行于y轴的，则limf'(x0)=无穷大，本质上是指limf'(x0)不存在。

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