定积分问题

Question

一道题求y=1+cosx在闭区间（-π，π）的图像与x轴围城的区域面积，如果用定积分来做，我可不可以把y拆成 1和cosx 然后 cosx的定积分求面积+1在区间内的面积呢？

2.定积分是面积的代数和吗？如果面积出现小于零，那么是不是应该分类把它加上？

Answer 1

反正都是要拆的，早拆迟拆没分别
∫(- π→π) (1 + cosx) dx = ∫(- π→π) dx + ∫(- π→π) cosx dx
= 2π
但是这部分的面积相当于y = 1在[- π，π]围成的面积，由填补区域可知
= ∫(- π→π) dx = 2π
而y = cosx在[- π，π]上围成的面积有正的有负的，所以刚好抵消

定积分是求不规则图形面积的其中一种方法
如果只是定积分表达式的话可以有负数
如果要求面积的话，就要加上绝对值，|∫(a→b) ƒ(x) dx|，确保数值大于0
所以面积在x轴下方的定积分都要加上负号使其变为正数

Answer 2

从定积分的定义和性质来看，可以拆成两个或几个区域分别求定积分，再加起来。定积分代表的“面积”是带数值，需要考虑符号。如果定积分的下限小于上限，那么图形在x轴下方的，定积分值为复数；图形在x轴上方的，定积分值为正数。如果x轴下方的图形面积和x轴上方的图形面积大小相等，那么这段区域的定积分就是0。