二次函数知识点

Question

还真没看懂

Answer 1

two
5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2axy；②kaxy2；③2
hxay；④
khxay2
；⑤cbxaxy2.
6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；
a相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y轴（或重合）的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0x.
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：abacabxacbxaxy44222
2



，∴顶点是），（a
bacab4422
，对称轴是直线abx2.
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2
的形式，得到顶点为(h,k)，
对称轴是直线hx.
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分
线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线cbxaxy2
中，cba,,的作用
（1）a决定开口方向及开口大小，这与2
axy中的a完全一样.
（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2
的对称轴是直线
a
b
x2
，故：①0b时，对称轴为y轴；②0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；
③
0a
b
（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧. （3）c的大小决定抛物线cbxaxy2
与y轴交点的位置.
当0x时，cy，∴抛物线cbxaxy2
与y轴有且只有一个交点（0，c）：
①0c，抛物线经过原点; ②0c,与y轴交于正半轴；③0c,与y轴交于负半轴.
three
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 0a
b
. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式
开口方向 对称轴
顶点坐标
2axy
当0a时 开口向上 当0a时
开口向下
0x（y轴） （0,0） kaxy2

0x（y轴） (0, k) 2
hxay
hx (h,0) khxay2

hx
(h,k)
cbxaxy2

a
bx2
 (a
bacab4422
，) 11.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：cbxaxy2
.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：khxay2
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay. 12.直线与抛物线的交点
（1）y轴与抛物线cbxaxy2
得交点为(0, c).
（2）与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2
有且只有一个交点(h,cbhah2).
（3）抛物线与x轴的交点
二次函数cbxaxy2
的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程
02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别
式判定：
①有两个交点0抛物线与x轴相交；
②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切； ③没有交点0抛物线与x轴相离. （4）平行于x轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵
坐标为k，则横坐标是kcbxax2
的两个实数根.
four
（5）一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方
程组
c
bxaxynkxy2
的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点; ②
方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.
（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，，，xBxA，
由于1x、2x是方程02
cbxax的两个根，故
a
c
xxabxx
2121,

aaacbac
abxxxxxxxxAB


44422
212
212
2121

Answer 2

解析式
图像
最大值或最小值

Answer 3

解：x=7和x=14代入有
49a+7b=196a+14b,b=-21a
y=ax^2+bx=ax^2-21ax=a(x^2-21x)
x=8时，y=-104a
x=10时,y=-110a
x=12时,y=-108a
x=15时,y=-90a
a小于0，因为炮弹轨迹是开口向下的的抛物线
所以10秒时最高，谢谢采纳！

Answer 4

①一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．
②当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数．
③二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（x－h）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（－
，
）．对于y=a（x－h）2+k而言其顶点坐标为（h，k），由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．
④二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=－
，最值为
，（k>0时为最小值，k<0时为最大值）．由此可知y=ax2的顶点在坐标原点上，且y轴为对称轴即x=0．
⑤抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将y=ax2沿着y轴（上“＋”，下“－”）平移k（k>0）个单位得到函数y=ax2±k，将y=ax2沿着x轴（右“－”，左“＋”）平移h（h>0）个单位得到y=a（x±h）2．在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿y轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减），若沿x轴平移则直接在含x的括号内进行加减（右减左加）．
⑥在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点．
⑦抛物线y=ax2+bx+c的图像位置及性质与a，b，c的作用：a的正负决定了开口方向，当a>0时，开口向上，在对称轴x=－
的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴x=－
的右侧，y随x的增大而增大，此时y有最小值为y=
，顶点（－
，
）为最低点；当a<0时，开口向下，在对称轴x=－
的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴x=－
的右侧，y随x的增大而增大，此时y有最大值为y=
，顶点（－，
）为最高点．│a│的大小决定了开口的宽窄，│a│越大，开口越小，图像两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图像两边越靠近x轴；a，b的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y轴，当a，b同号时，对称轴x=－
<0，即对称轴在y轴左侧，垂直于x轴负半轴，当a，b异号时，对称轴x=－
>0，即对称轴在y轴右侧，垂直于x轴正半轴；c的符号决定了抛物线与y轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y轴交于正半轴；c<0时，与y轴交于负半轴，以上a，b，c的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．
请采纳，谢谢！

Answer 5

二次函数
I.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）]
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为
P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。
V.二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
即ax^2;+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

画抛物线y＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。
二次函数解析式的几种形式

(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).

(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).

(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.

说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点

如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax^2+k

定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。还可以决定开口大小,越大开口就越小,越小开口就越大。）
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量，y是x的函数
二次函数的三种表达式
①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
②顶点式[抛物线的顶点 P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k
③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)
以上3种形式可进行如下转化：
①一般式和顶点式的关系
对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即
h=-b/2a=(x1+x2)/2
k=(4ac-b^2)/4a
②一般式和交点式的关系
x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)本回答被提问者采纳