数学几何题

Question

在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于F,取FD的中点G，连接EG,CG,如图1，易证EG=CG且EG⊥CG
1.将△BEF绕B逆时针旋转90º，如图2，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关系，不需要理由
2将△BEF绕点B逆时针旋转180º，如图3，则线段EG和CG又有怎样的数量和位置关系，理由是？

Answer 1

在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于F,取FD的中点G，连接EG,CG,如图1，易证EG=CG且EG⊥CG

1.将△BEF绕B逆时针旋转90º，如图2，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关系，不需要理由

2将△BEF绕点B逆时针旋转180º，如图3，则线段EG和CG又有怎样的数量和位置关系，理由是？

(1)EG=CG，EG⊥CG

(2)∵将△BEF绕点B逆时针旋转180º，如图示

∴∠BEF=90°，∠BFE=45°==>EF//AD

延长EG交AD于H

∠HDG=∠EFG=45°，FG=GD，∠HGD=∠EGF

∴⊿HGD≌⊿EGF

∴EG=HG，即G为EH中点，FE=HD

连接HC,CE

易证⊿HCD≌⊿ECB

∴∠HCD=∠ECB==>∠HCE=90°

∴GH=HE=GC，EG⊥CG

Answer 2

第一和第二问都是EG和CG相等且垂直

第二问证明：延长DC、FE交于点M，连接GM，

∵四边形ABCD是正方形 ∴DC=BC=EM

又BD是正方形对角线 ∴∠DBC=∠BFM=45°∴△BFE是等腰直角三角形∴FE=BE=CM

∴FE+EM=CM+DC

即FM=DM，又∵∠DMF=∠DCB=90°∴△DMF是等腰直角三角形

∵G是FD的中点，根据“三线合一”可知GM⊥FD 

∴∠GFM=∠GMC，FG=GM,又∵FE=CM

∴△GFE≌△GMC（SAS）∴EG=CG  ,∠FGE=∠MGC

又∵∠FGE+∠EGM=90°∴∠MGC+∠EGM=90°，即∠EGC=90°∴EG⊥CG 且EG=CG 

Answer 3

对一般情况证明。ABCD BEFH为正方形，G是FD中点，证明GE⊥＝GC﹙题中全是特款﹚，

设FE＝b'﹙向量﹚，EB＝b, BC＝a, CD＝a'.

有：b'²＝b².a'²＝a², bb'＝aa'＝0 ,ab'＝a'b   ab＝-a'b'﹙*﹚

ED＝b'+b+a+a'  EG＝EF+FG＝﹙-b'+b+a+a' ﹚/2   GC＝GD+DC＝﹙b'+b+a-a' ﹚/2

从﹙*﹚，直接算得  EG²＝﹙-b'+b+a+a' ﹚²/4＝……＝﹙﹙b'+b+a-a' ﹚²/4＝ GC²

 EG•GC＝﹙-b'+b+a+a' ﹚•﹙b'+b+a-a' ﹚/4＝……＝0。 即GE⊥＝GC。

[ 向量方法简洁方便，初中学生稍作努力即可掌握，一般家教三次课即可学会，不妨试试。]

祝你学习进步

Answer 4

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Answer 5

（1）EG垂直CG
EG=CG
(2),证明：延长FE与DC的延长线相交于点M,连接MG
因为ABCD是正方形
所以AE平行DM
角ABC=角BCD=90度
角DBC=角FDH=45度
因为EF垂直AB
所以角BEM=90度
所以角BEM=角ABC=90度
所以BC平行FM
所以角F=角DBC=45度
角BCD=角DMF=90度
所以角F=角FDM=45度
所以DM=FM
所以三角形DMF是等腰直角三角形
因为点G是DF的中点
所以MG是等腰直角三角形DMF的中线,角平分线,高线
所以CG=EG
角CMG=1/2角DMF=45度
角FGM=角FGE+角EGM=90度
因为BC平行EM
AE平行DM
所以四边形DBMC是矩形
所以BE=CM
角F=角CMG=45度
所以三角形FEG和三角形MCG全等（SAS)
所以EG=CG
角FGE=角CGM
所以角EGC=角EGM+角CGM=90度
所以EG垂直CG
所以EG=CG
EG垂直CG