简单的一阶线性微分方程通解

Question

dy/dx=x+y 求通解，请尽量详细点

Answer 1

令u=x+y
du=dx+dy
du/dx=1+dy/dx,dy/dx=du/dx-1
原来的方程变为
du/dx-1=u
du/(1+u)=dx
两边积分得
ln(1+u)=x+lnC
1+u=Ce^x
将u换回去得
1+x+y=Ce^x
求得：y=Ce^x-x-1

Answer 2

y(x)=-x+e^(x-C)-1

Answer 3

y'-y=x
则y=(x+c)(e^x)

此齐次微分方程y'-y=0的通解为y=c(e^x)

代入y=ax(e^x)解得a=1
则得y'-y=x的特解y=x(e^x)

通解加特解即此题的解

Answer 4

首先dy/dx=y的通解是y=C1*e^x
接着有非其次项x
所以设一个特解y=ax+b
代入方程有特解y=-x-1
所以dy/dx=x+y 通解是y=C1*e^x-x-1