请教一道线性代数的题，关于二次型求二次曲线。第一问和第二问已经求出来了，第三问和第四问不会。

Question

如题所述

Answer 1

很简单，第三问就是
x'平方+6y'平方=6
因为 T'AT=P
[x,y]A[x,y]'=6
[x',y']T'AT[x',y']=[x',y']P[x',y']’=6
[x',y']P[x',y']’=x'平方+6y'平方
（4）x’和y‘是个椭圆，很好画。
限xoy坐标系中先找到 在x和y上找到x’和 y‘所在直线，
在x'oy'坐标系上画即可。追问

第四问不能直接变成x，y坐标画吗，就像照片里那样。为什么要从x'，y' 坐标轴上画呢

追答

不能，你的例子知识x‘和y’和原x轴周是重合的，

但现在不是重合的。

这是图像

追问

能通过公式给出详细的解释吗，只要有具体的过程就行，不然太抽象了我总是我还是不知道怎能画出这个图，麻烦你了

追答

x'和y'坐标下的椭圆应该回话，关键是定位椭圆四个顶点在原xy坐标下的坐标。
注意x'=(2x+y)/√5 y'=（x-2y)/√5
红线就是x‘y'的两个坐标轴即x'=0,y'=0
对应xy上的直线就是2x+y=0, x-2y=0
对应椭圆四个顶点为(x',y')=(±√6,0） 和(0,±1）
反带回去求出对应x和y的坐标即可
如点(x',y')=(0,1)
即x'=(2x+y)/√5=0 y'=（x-2y)/√5=1
x=(2x'+y')/√5=1/√5 y=(x'-2y')/√5=-1/√5
即点(x',y')=(0,1)对应(x,y)=(1/√5,-1/√5)
其他顶点类似，确定坐标轴和四个顶点图就能画出来了