求微分方程y"+y'+2y=x^2-3 y"+a^2y=e^x 的通解。详细计算步骤

Question

如题所述

Answer 1

(1)二阶常系数非齐次线性微分方程的解的结构由齐次通解加特解组成.
①
求通对应齐次方程的特征方程是：λ^2+λ-2=0
解得λ=
-2和λ=1,所以通解y=C1e^(-2x)+C2e^x
(其中C1,C2为任意常数)
②
求特可用基本待定系数法或快速微分算子法.
方法一：待定系数法：设y*=Axe^x
y*´=Ae^x+Axe^x,y*´´=2Ae^x+Axe^x
代入原方程：3Ae^x=e^x,所以A=1/3,y*=xe^x/3
方法二：微分算子法：由e^(kx)/F(D)=x^m•e^(kx)/[F(D)]^(m)=x^m•e^(kx)/[F(x)]^(m)
注意式中的^(m)表示求导,本题中m和k都是1
于是：y*=e^x/(D^2+D-2)=x•e^x/3=xe^x/3
最后将齐次通解和特解合并起来就是该二阶常系数非齐次线性微分方程的通
y=C1e^(-2x)+C2e^x+xe^x/3
(其中C1,C2为任意常数)
(2)令y''+a^2y=0,先解对应的齐次方程,
特征方程为:r^2+a^2=0,
r=±ai,
通解为:Y=e^(0x)(C1cosax+C2sinax)
Y=C1cosax+C2sinax,
e^x属于Ax^ke^(αx),α=1,不是特征方程的单根,故k=0,
设y*=Be^x,
y=Y+y*=C1cosax+C2sinax+Be^x,
y'=-C1asinax+C2acosax+Be^x,
y"=-C1a^2cosax-C2a^2sinax+Be^x,
-C1a^2cosax-C2a^2sinax+Be^x+a^2(C1cosax+C2sinax+Be^x)
=e^x(Ba^2+B)=e^x,
∴B=1/(1+a^2),
∴通解为:y=C1cosax+C2sinax+e^x/(1+a^2),(C1,C2是常数)