只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。
用数学归纳法:
①证明{x(n)}单调增加。
x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1);
设x(k+1)>x(k),则
x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化)
=/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。
②证明{x(n)}有上界。
x(1)=1<4,
设x(k)<4,则
x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。
当0
构造函数f(x)=x*a^x(0
令t=1/a,则:t>1、a=1/t
且,f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)
则:
lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x
=lim(x→+∞)(分子分母分别求导)
=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)
=1/(+∞)
=0
所以,对于数列n*a^n,其极限为0