关于函数的问题

Question

函数图像与一元一次不等式、一元一次方程、二元一次方程组的关系
有哪些知识点？总结一下，越多越好

Answer 1

2．方程与不等式

　　（1）方程与方程组

　　① 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数 学模型。

　　② 经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程。［参见例7］

　　③ 会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中 的分式不超过两个）　　。

　　④ 理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的 一元二次方程。

　　⑤ 能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。

　　（2）不等式与不等式组

　　① 能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。

　　② 会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。会解由两个一元一次不等式组 成的不等式组，并会用数轴确定解集。

　　③ 能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单 的问题。

　　3．函数

　　（1）探索具体问题中的数量关系和变化规律［参见例8］

　　（2）函数

　　① 通过简单实例，了解常量、变量的意义。

　　② 能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例。

　　③ 能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。［参见例9］

　　④ 能确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求出函数值 。

　　⑤ 能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系。［参见例10］

　　⑥ 结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测。［参见例11］

　（3）一次函数

　　① 结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数表达式。

　　② 会画一次 函数的图象，根据一次函数的图象和解析表达式y=kx+b（k≠0）探索并理解 其性质（k＞0或k ＜0时，图象的变化情况 ＝。

　　③ 理解正比例函数。

　　④ 能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。

　　⑤ 能用一次函数解决实际问题。

　　（4）反比例函数

　　① 结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式。

　　② 能画出反比例函数的图象，根据 图象和解析表达式y=kx（k≠0 ）探索并理解其性质（k>0或k<0时，图象的变化）。

　　③ 能用反比例函数解决某些实际问题。

　　（5）二次函数

　　① 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。

　　② 会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质。

　　③ 会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决 简单的实际问题。

　　④ 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

(二)案例

　　例1 一次水灾中，大约有20万人的生活受到影响，灾情 将持续一个月。请推断：大约需要组织多少顶帐篷？多少吨粮食？

　　说明 假如平均一个家庭有4口人，那么20万人需要5万顶帐篷；假如一个 人平均一天需要0 5千克的粮食，那么一天需要10万千克的粮食……

　　例2 估计( -1)/2 与0.5哪个大

　　例3 在某地，人们发现某种蟋蟀叫的次数与温度之间有 如下的近似关系：记录蟋蟀每分叫 的次数，用这个次数除以7，然后再加上3，就得到当时的温度。温度（℃）与蟋蟀每分叫的 次数之间的关系是：温度 = 蟋蟀每分叫的次数 ÷7+3。试用字母表示这一关系。

　　例４观察下列图形并填表：

梯形个数 1 2 3 4 5 6 ...... n

周 长 5 8 11 14 ......

　　例5 对代数式3a作出解释。

　　说明 如葡萄的价格是3元/千克，买a 千克的葡萄需3a元；或正三角形的 边长为a，这个三角形的周长是3a。

　　例6 化简： (1)(x2-4x+4)/x2-4 ； (2)(x-2)/(x+2)+(x+2)/(x-2)

　例7 估计下列方程的解：

　　（1）x3-9=0； （2）x2+2x-10=0。

　　例8 5名同学参加乒乓球赛，每两名同学之间赛一 场，一共需要多少场比赛？10名同学呢？

　　说明 可以用列举、画图等方法。

　例9 小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家90 0米的报亭，母亲随即按原速返 回。父亲看了10分报纸后，用了15分返回家。下面的图形中哪一个表示父亲离家的时间与距离之间的关系？ 哪一个表示母亲离家的时间与距离之间的关系？

　例10 某书定价8元，如果购买10本以上、超过10本 的部分打八折。试分析并表达出购书数量与付款金额之间的关系。

　　例11 填表并观察下列两个函数的变化情况：

x 1 2 3 4 5 ......

y1=50+x

y2=5x

（1）在同一个直角坐标系中画出上面两个函数的图象，比较它们有什么不同；

　　（2）当x从1开始增大时，预测哪一个函数的值先到达100。

Answer 2

定义与定义式：
自变量x和因变量y有如下关系：
y=kx+b（k，b为常数，k≠0）
则称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

II、一次函数的性质：
y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
即 △y/△x=k

III、一次函数的图象及性质：
1． 作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图象——

一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。
2． 性质：在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。
3． k，b与函数图象所在象限。
当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b＜0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

IV、确定一次函数的表达式：
已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：
y1=kx1+b① 和 y2=kx2+b②。
（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最后得到一次函数的表达式。

V、一次函数在生活中的应用
1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

一次函数与二元一次方程的关系

1.(1)以二元一次方程组ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数
y=-a/bx+c/d的图象相同.
(2)二元一次方程组{a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2的解可以看作是两个一次函数
y=-a1/b1x+c1/d1和y=-a2/b2x+c2/d2的图象的交点.
方法小结:
把方程组中的两个二元一次方程改写成一次函数的形式,然后作出它们的图象,找出两图象的交点,即可知

方程组的解.

2.作出一次函数的图象,找出两图象的交点,即可知方程组的解.