为什么距离等于法向量乘向量PM的绝对值 除以法向量的模

Question

如题所述

Answer 1

平面α外一点P，平面α内一点M，平面α的法向量为向量n，

则点P到平面α的距离d=|向量n·向量PM|/|向量n|。

证：设法向量n与向量PM间的夹角为θ，

如图所示，若法向量n与向量PM分别指向平面α两侧，

则θ为钝角，

那么d=PM·cos(π-θ)

=|向量PM|·|cosθ|

=||向量n|·|向量PM|·cosθ|/|向量n|

=|向量n·向量PM|/|向量n|，

同理，若法向量n与向量PM都指向平面α同一侧，

则θ为锐角，

那么d=PM·cosθ

=|向量PM|·|cosθ|

=||向量n|·|向量PM|·cosθ|/|向量n|

=|向量n·向量PM|/|向量n|，

综上d=|向量n·向量PM|/|向量n|。

追问

=||向量n|·|向量PM|·cosθ|/|向量n| 这个为什么乘的向量n 又除了向量n ？ 不是单位向量？
=|向量n·向量PM|/|向量n| ， 咦...cos不见了？

追答

∵向量n·向量PM=|向量n|·|向量PM|·cosθ，
∴|向量n·向量PM|=||向量n|·|向量PM|·cosθ|。