为什么可微，偏导数不一定连续？

Question

如题所述

Answer 1

       举个例子就够了，如下这个函数满足你的条件：

　　首先，

　　　　Df(0, 0)/Dx = lim(x→0) [f(x, 0) - f(0, 0)]/x = lim(x→0) xsin(1/x^2) = 0，
　　　　Df(0, 0)/Dy = lim(y→0) [f(x, 0) - f(0, 0)]/y = lim(y→0) ysin(1/y^2) = 0，
其次，记 ρ = √(x^2 + y^2)，则
　　　　{f(x, y) - f(0, 0) - [Df(0, 0)/Dx]Δx - [Df(0, 0)/Dy]Δy}/ρ
　    　= ρsin(1/ρ^2) →0 (ρ → 0)，
根据全微分的定义，得知函数 f 在 (0, 0) 可微。但 Df(x, y)/Dx 和 Df(x, y)/Dy 在 (0, 0) 不连续（留给你）。

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