圆锥曲线

Question

过原点的直线与圆X的平方+Y的平方-6X+5=0相交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程
〈最重要的是X的取值范围，为什么X的平方+Y的平方-6X+5=0与X的平方+Y的平方-3X=0联立〉

Answer 1

给你思路吧

假设直线的斜率存在，令直线方程为y=kx，代入圆方程，消去y，得到一个关于x的一元二次方程，其中k为参数

令Ax1,y1)，B(x2,y2)。利用韦达定理得到x1+x2=f(k)

因A、B均在直线上，则y1=kx1，y2=kx2。两式相加得到y1+y2=g(k)

令M(m,n)。考虑到圆心为(3,0)，半径为3，在直线斜率存在的条件下，必有m>0

由中点坐标公式得到m=f(k)/2，n=g(k)/2。两式结合，消去k得到M的轨迹方程。消去k时，先用两式相除求出k（关于m、n）的表达式，注意相除时n、k不能为分母，因它们可能为0；然后将k的表达式代入任一中点公式即得

验证直线斜率不存在时AB中点M（即原点）是否在上述轨迹上

Answer 2

X²+Y²-6X+5=0即(x-3)²+y²=4
圆心C(3,0),半径为2 ，连接MC
∵AB是圆C的弦，M是AB的中点
∴MC⊥OM
∵O,C为定点
∴M在以OC为直径的圆上
圆心为OC中点(3/2,0),半径为3/2
∴M点的轨迹方程为：
（x-3/2)²+y²=9/4即x²+y²-3x=0
又M在圆C内部，所以M点轨迹为圆C内的一段圆弧
X²+Y²-6X+5=0与X²+Y²-3X=0联立
得x=5/3,为二圆交点的横坐标
∴M点的轨迹方程为：x²+y²-3x=0（5/3<x≤3)