过抛物线y^2=8x上一点A(2,4)作两条互相垂直的直线分别交抛物线于B`C两点试问BC是否过定点

Question

若是求出定点坐标若不是说明理由

Answer 1

容易验证出：点A在抛物线y^2＝8x上。
∵点B、C在抛物线y^2＝8x上，∴可设点B、C的坐标分别是（m^2/8，m）、（n^2/8，n）。
依题意，AB⊥AC，∴（m－4）/（m^2/8－2）＝（n^2/8－2）/（4－n），
∴（m^2/8－2）（n^2/8－2）＝（m－4）（4－n），
∴（m^2－16）（n^2－16）＝64（m－4）（4－n），
∴（m＋4）（m－4）（n＋4）（n－4）＝－64（m－4）（n－4）。

∵B、C都是动点，∴（m－4）（n－4）不恒为0，∴（m＋4）（n＋4）＝－64，
∴mn＋4（m＋n）＋16＝－64，∴mn＝－80－4（m＋n）。······①

很明显，BC的斜率＝（m－n）/（m^2/8－n^2/8）＝8/（m＋n）。
∴BC的方程是：y－m＝［8/（m＋n）］（x－m^2/8），
∴（m＋n）（y－m）＝8x－m^2，∴（m＋n）y－（m＋n）m＝8x－m^2，
∴（m＋n）y－mn＝8x。······②

由①、②，得：（m＋n）y＋80＋4（m＋n）＝8x，∴（m＋n）（y＋4）＋80＝8x。
显然，将x＝10、y＝－4代入上式是成立的，∴BC过点（10，－4）。