谁会证[ab,bc,ca][a,b,c]=[a,b][b,c][c,a]，其中【】代表最小公倍数，请用数论方法证明。

Question

悬赏不是问题，若有高人，我zhz会十分感谢。

Answer 1

首先，若d=(a,b,c)则两边可以约去d^3
因此可以假设(a,b,c)=1
由此令(a,b)=Dab, (a,c)=Dac, (b,c)=Dbc，则此三者两两互素
因此可设a=xDab Dac ; b=yDabDbc; c=zDacDbc，此有x,y,z三者两两互素
将此三者代入原式，即得证。

Answer 2

任给 含于abc中的一个素数p,
设 a 含x个p因子， b 含y个p因子， c 含z个p因子，其中，x,y,z 非负，且不全为0.
因所求证等式 与a,b,c的次序无关，不妨设 x>=y>=z

于是
ab 中含 x+y 个p因子，
bc 中含 y+z 个p因子，
ca 中含 z+a 个p因子，
===>
[ab,bc,ca]中含 x+y 个p因子
[a,b,c]中含 x个p因子
[a,b]中含 x 个p因子
[b,c]中含 y 个p因子
[c,a]中含 x个p因子
于是 所求证等式左右两边都是含 2x+y 个p 因子。即p因子个数相同。
又这对所有abc 所含素因子都成立。 所以结论成立。追问

算术基本定理没有问题，可是我想要直接证明，你能想出来吗？如果你不会，那就算了，不过我不想要。

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