以六边形为例，设等角六边形ABCDEF外切于⊙O
且AB、BC、CD、DE、EF、FA边上的切点分别为A1、B1、C1、D1、E1、F1
由于正多边形的定义是各角相等，各边相等，由于已是等角，只需证明等边
联结OA1、OB1、OC1、OD1、OE1、OF1，顺次联结A1、B1、C1、D1、E1、F1
六边形内角和为180°*(6-2)=720°，由于六边形ABCDEF等角六边形，所以∠A=720°/6=120°
由于A1、F1是AB、AF边上的切点，即OA1⊥AB于A1，OF1⊥AF于F1，所以∠OA1A=∠OF1A=90°
所以在四边形AA1OF1中，∠A1OF1=360°-∠A-∠OA1A-∠OF1A=360°-120°-90°-90°=60°
由于OA1、OF1是半径，OA1=OF1，所以△A1F1O是正三角形
得∠OA1F1=∠OF1A1=60°，且A1F1=OA1为半径
所以∠AA1F1=∠AA1O-∠OA1F1=90°-60°=30°，∠AF1A1=∠OF1A-∠OF1A1=90°-60°=30°
由∠AA1F1=∠AF1A1得AA1=AF1
根据同样的道理，可得∠A1OB1=∠B1OC1=∠C1OD1=∠D1OE1=∠E1OF1=60°
则△A1OB1、△B1OC1、△C1OD1、△D1OE1、△E1OF1是正三角形
所以A1B1=B1C1=C1D1=D1E1=E1F1=F1A1为半径
而且由∠BA1B1=∠BB1A1=30°，∠CB1C1=∠CC1B1=30°，
∠DC1D1=∠DD1C1=30°，∠ED1E1=∠EE1D1=30°，∠FE1F1=∠FF1E1=30°
得BA1=BB1，CB1=CC1，BC1=DD1，ED1=EE1，FE1=FF1
再由∠AA1F1=∠BB1A1=∠CC1B1=∠DD1C1=∠EE1D1=∠FF1E1，且∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F
得△AA1F1∽△BB1A1∽△CC1B1∽△DD1E1∽△EE1D1∽△FF1E1
有AA1/A1F1=BB1/B1A1=CC1/C1B1=DD1/D1C1=EE1/E1D1=FF1/F1E1
由于已证A1B1=B1C1=C1D1=D1E1=E1F1=F1A1
所以有AA1=BB1=CC1=DD1=EE1=FF1
再由已证的AA1=AF1，BA1=BB1，CB1=CC1，BC1=DD1，ED1=EE1，FE1=FF1
得AA1=AF1=BA1=BB1=CB1=CC1=BC1=DD1=ED1=EE1=FE1=FF1
则AA1+BA1=BB1+CB1=CC1+DC1=DD1+ED1=EE1+FE1=FF1+AF1
即AB=BC=CD=DE=EF=FA，也就是等边六边形
加上已知的等角，所以六边形ABCDEF是正六边形