多元函数在间断点处偏导数为什么存在？那一元函数在间断点处的导数为什么必定不存在？

Question

对于一个分段函数： z=f(x,y)=xy/x²+y²,x²+y²≠0; z=f(x,y)=0,x²+y²=0.在（0,0）这一点，既然它是间断点，怎么可能有偏导数？尽管用定义可以得到结论，但回到一元函数中：y=x²+1,x≠0;y=0,x=0.这样的一元函数在（0,0）这点岂不也存在导数，但显然一元函数不连续必定不可导。求解，谢谢各位英雄豪杰了！！！

Answer 1

就是因为定义可以得到结论啊，一元函数你用定义能得到结论吗？显然不能。仔细看看那个分段函数，你有没有没发现：当固定x=0时，或者固定y=0时，它就变成连续的函数了。所以在这两个方向上它是有导数滴（只不过在多元函数中，我们称之为偏导数）。除非你能证明多远函数在所有的方向上都有偏导数，这个时候他就必定连续。追问

老师，一元函数可以得到的，满足在该间断点的左右极限相等，都等于0

追答

满足该间断点的左右极限相等也不能得到一元函数的导数