已知非零向量a与b满足(a+b)(2a-b)=0,则a向量的模/b向量的模的最小值为

Question

如题所述

Answer 1

依题意：(a+b) * (2a-b)=0，即：2|a|^2-|b|^2+a * b=0
即：2|a|^2-|b|^2+|a|*|b|*cos<a.b>=0，所以：cos<a,b>=(|b|^2-2|a|^2)/[|a|*|b|]
因为<a,b>∈[0,π]，所以cos<a,b>∈[-1,1]
所以：-1≤(|b|^2-2|a|^2)/|a||b|≤1，等价于：(|b|^2-2|a|^2)/|a||b|≤1，(|b|^2-2|a|^2)/|a||b|≥-1
即：|b|/|a|-2|a|/|b|+1≥0，设t=|a|/|b|,即：1/t-2t+1>=0,2t^2-t-1<=0,(2t+1)(t-1)<=0-------(1)
|b|/|a|-2|a|/|b|-1≤0，即：1/t-2t-1<=0,2t^2+t-1>=0,(2t-1)(t+1)>=0---------------(2)
解(2)得：t≥1/2或t≤-1
解(1)得：-1/2≤t≤1
因为：|a|/|b||≥0，所以不等式组的解为：1/2≤t≤1
所以向量a的模/|b|的最小值是1/2

Answer 2

2a^2+2ab-ab-b^2=0
2a^2+ab-b^2=0
2︱a︱^2+︱a︱︱b︱cos θ-︱b︱^2=0
令︱a︱/︱b︱=t
则：2t^2+cosθt-1=0
t={-cosθ+√[(cosθ)^2+8]}/4==2/{cosθ+√[(cosθ)^2+8]}
θ=0时t最小，最小值为：t=1/2本回答被提问者采纳