不等式证明

Question

如题所述

Answer 1

1、进行简单处理
根据(cosα)^2+(cosβ)^2+(cosγ)^2-2cosαcosβcosγ-1<0
移项：(cosα)^2+(cosβ)^2+(cosγ)^2<2cosαcosβcosγ+1

不等式两边同乘以2.
2(cosα)^2+2(cosβ)^2+2(cosγ)^2<4cosαcosβcosγ+2

2、利用三角公式化简
1+cos2α+1+cos2β+2(cosγ)^2<2[cos（α+β）+cos（α-β）]*cosγ+2

不等式两边同减去2并利用三角公式运算
2cos（α+β）cos（α-β）+2(cosγ)^2<2[cos（α+β）+cos（α-β）]*cosγ

不等式两边同除以2.
cos（α+β）cos（α-β）+(cosγ)^2<[cos（α+β）+cos（α-β）]*cosγ

移项并因式分解
[cos（α+β）-cosγ][cos（α-β）-cosγ]<0

再次利用三角公式运算：
-2sin[（α+β+γ)/2]sin[（α+β-γ)/2]*{-2sin[（α-β+γ)/2]sin[（α-β-γ)/2]}<0
4sin[（α+β+γ)/2]sin[（α+β-γ)/2]sin[（α-β+γ)/2]sin[（α-β-γ)/2]<0

不等式两边同除以-4.
sin[（α+β+γ)/2]sin[（α+β-γ)/2]sin[（α-β+γ)/2]sin[（-α+β+γ)/2]>0
∵α，β，γ∈（0，π/2]
∴（α+β+γ）/2∈（0，π3/4]
∴sin[（α+β+γ)/2]>0
不等式两边同除以sin[（α+β+γ)/2]
得到sin[（α+β-γ)/2]sin[（α+γ-β)/2]sin[（β+γ-α)/2]>0

3、sin[（α+β-γ)/2]sin[（α+γ-β)/2]sin[（β+γ-α)/2]>0与α、β、γ关系进行推导
（1）正推

∵α，β，γ∈（0，π/2]
∴（α+β-γ)/2，（α+γ-β)/2，（β+γ-α)/2∈（-π/4，π/2]
假设1：（α+β-γ)/2，（α+γ-β)/2，（β+γ-α)/2三项中，有任何一项小于0，那么另两项肯定大于0，则sin[（α+β-γ)/2]sin[（α+γ-β)/2]sin[（β+γ-α)/2]>0此不等式不成立。
因此假设1不成立。
所以：（α+β-γ)/2，（α+γ-β)/2，（β+γ-α)/2三项中，任何一项都不可能小于0

假设2： （α+β-γ)/2，（α+γ-β)/2，（β+γ-α)/2三项中，任何一项等于0
那么sin[（α+β-γ)/2]sin[（α+γ-β)/2]sin[（β+γ-α)/2]=0
因此假设2不成立。

所以（α+β-γ)/2，（α+γ-β)/2，（β+γ-α)/2三项都大于0。
即α+β>γ,α+γ>β,β+γ>α

1）反推
已知
即α+β>γ,α+γ>β,β+γ>α，需要得到sin[（α+β-γ)/2]sin[（α+γ-β)/2]sin[（β+γ-α)/2]>0
只要结合
“∵α，β，γ∈（0，π/2]
∴（α+β-γ)/2，（α+γ-β)/2，（β+γ-α)/2∈（-π/4，π/2]”就成了。

因此：(cosα)^2+(cosβ)^2+(cosγ)^2-2cosαcosβcosγ-1<0与α+β>γ,α+γ>β,β+γ>α可以互推。

Answer 2

原题应为(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC＝1
其中A,B,C∈[0,π/2],且A+B+C=π
对(cosA)^2+(cosB)^2=[cos2A+1]/2 + [cos2B +1]/2
=[cos2A +cos2B]/2 +1
=cos(A+B)cos(A-B) +1
=(cosAcosB-sinAsinB)(cosAcosB+sinAsinB)+1
=(cosAcosB)^2-(sinAsinB)^2+1
原式化为
(cosAcosB)^2-(sinAsinB)^2 +1 +(cosC)^2+2cosAcosBcosC＝1
即(cosAcosB+cosC)^2-(sinAsinB)^2=0
其中A,B,C∈[0,π/2] 故cosAcosB+cosC>0 ,sinAsinB>0
所以 cosAcosB+cosC=sinAsinB
即cos(A+B)+cosC=0
∵A+B+C=π
∴A+B=π-C
显然 cos(A+B)+cosC=0 成立