有关于定积分的几何应用的问题。。被积函数绕x轴或y轴所所围城区域的体积。。绕y轴的那个公式怎么解释啊

有关于定积分的几何应用的问题。。被积函数绕x轴或y轴所所围城区域的体积。。绕y轴的那个公式怎么解释啊。
绕y轴旋转一周的计算公式用几何解释呢。。

微元法:

任取x,x+dx小段,绕y轴旋转,得一个空心圆柱体,沿平行于y轴剪开,得一个长方体:

厚为dx,宽为f(x),长2πx(圆的周长)

故:
dV=2πxf(x)dx;

取元原则

选取微元时所遵从的基本原则是

1、可加性:由于所取的“微元” 最终必须参加叠加演算,所以,对“微元” 及相应的量的最基本要求是:应该具备“可加性”特征;

2、有序性:为了保证所取的“微元” 在叠加域内能够较为方便地获得“不遗漏”、“不重复”的完整叠加,在选取“微元”时,就应该注意:按照关于量的某种“序”来选取相应的“微元” ;

3、平权性:叠加演算实际上是一种复杂的“加权叠加”。对于一般的“权函数” 来说,这种叠加演算(实际上就是要求定积分)极为复杂,但如果“权函数” 具备了“平权性”特征(在定义域内的值处处相等)就会蜕化为极为简单的形式。

温馨提示:答案为网友推荐,仅供参考
第1个回答  2021-05-26

微元法:任取x,x+dx小段,绕y轴旋转,得一个空心圆柱体,沿平行于y轴剪开,得一个长方体:厚为dx,宽为f(x),长2πx(圆的周长),故dV=2πxf(x)dx。

旋转而得的立体是一个中间圆台形镂空、以x=2为旋转轴的立体,所谓在[0,1]上取小区间[x,x+dx],实际上是在x处取了一个厚为dx、环绕直线x=2的圆环,该圆环的周长是2π(2-x),高是上半圆周对应的函数减去直线对应的函数,厚度是dx,周长×高×厚度就是微元dV

最常见的换“元”技巧有如下几种

(1)“时间元”与“空间元”间的相互代换(表现时、空关系的运动问题中最为常见);

(2)“体元”、“面元”与“线元”间的相互代换(实质上是降“维”);

(3)“线元”与“角元”间的相互代换(“元”的表现形式的转换);

(4)“孤立元”与“组合元”间的相互代换(充分利用“对称”特征)。

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第2个回答  2013-04-15
第一个公式一般书上都有,不解释。下面解释第二个公式。
2πxf(x)为[a,b]区间内任意一点x处,y轴方向长度为f(x)的线段绕y轴旋转一周所得圆周长为2πx,高为f(x)的无底薄壁圆筒面积;
2πxf(x)dx为该无底薄壁圆筒在厚度为dx时的体积(旋转体的体积微元),即dVy=2πxf(x)dx
于是,∫(a,b)2πxf(x)dx就是x=a,x=b,y=0,y=f(x) (0<a<b;f(x)>0)绕y轴旋转一周所得旋转体的体积。即 Vy=∫(a,b)2πxf(x)dx=2π∫(a,b)xf(x)dx.
第3个回答  2013-04-15

第4个回答  推荐于2018-03-20
微元法:
任取x,x+dx小段,绕y轴旋转,得一个空心圆柱体,沿平行于y轴剪开,
得一个长方体:厚为dx,宽为f(x),长2πx(圆的周长)
故dV=2πxf(x)dx本回答被提问者和网友采纳
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