椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1 （a>b>0）的左右焦点分别为F1、F2，过F1

Question

1.如果点A在x^2+y^2=c圆上（c为椭圆半焦距）,且绝对值F1A=c求椭圆离心率
2.若函数y=根号2+logmX（m>0,且m≠1）的图像，无论m为何值时恒过定点（b,a）,求向量F2A*向量F2B的取值范围

Answer 1

（一）、设P(ms-c,s)，P(mh-c,h)，由P、Q在椭圆上，即s、h是方程 (mt-c)^2/a^2+t^2/b^2=1 的两根，由韦达定理得 s+h=2mcb^2/(b^2*m^2+a^2) ，sh=-b^4/(m^2*b^2+a^2) ；向量 AP=(ms-a-c,s) ，AQ=(mh-a-c,h) ，而向量AP ·向量AQ=(ms-a-c,s)·(mh-a-c,h)=(ms-a-c)(mh-a-c)+sh=(1/2)*(a+c)^2 ，即 (m^2+1)*s*h-(a+c)*(s+h)+(1/2)*(a+c)^2=0 ，联立消去s、h，并整理得 [(e+1)^2]*[(m^2-2)e^2+4e-(m^2+1)]=0（0<e<1），解得椭圆C的离心率 e=[-2+√(m^4-m^2+2)]/(m^2-2) 。
（二）、若 e∈(1/2,2/3) ，即 1/2<[-2+√(m^4-m^2+2)]/(m^2-2)]<2/3 ，0<3m^4-6m^2+7 且 5m^4-17m^2+14<0 ，解得 7/5<m^2<2 ，m的取值范围 {m|-√2<m<-√35/5 或 √35/5<m<√2} 。
（三）、)若 AP∩l=M ，AQ∩l=N ，左准线l的方程为 x=-a^2/c ，直线AP的参数方程为 sx-(ms-a-c)y-sa=0 ，求得M的纵坐标 M_y=[(a^2+ac)*s]/(ac+c^2-mcs) ，同理得N的纵坐标为 N_y=[(c^2+ac)*h]/(ac+c^2-mch)。M_y*N_y=(a^2+ac)^2*s*h/[(c^2+ac-mcs)*(c^2+ac-mch)]=(a^2+ac)^2*s*h/[(c^2+ac)^2-mc(c^2+ac)(s+h)+m^2*c^2*s*h]=(a^2+ac)^2*(-b^4)/[(c^2+ac)^2*(m^2*b^2+a^2)-2m^2*c^2*b^2*(c^2+ac)-b^4*m^2*c^2]=(a^2+ac)^2*(-b^4)/{(c^2+ac)^2*a^2+[(c^2+ac)^2-2*c^2*b^2*(c^2+ac)-b^4*c^2)]*m^2}=(a^2+ac)^2*(-b^4)/{(c^2+ac)^2*a^2+[(a+c)^2-2*(c^2+ac)-b^2]*b^2*c^2*m^2}=(a^2+ac)^2*(-b^4)/[(c^2+ac)^2*a^2]=-b^4/c^2，所以M、N点的纵坐标之积为定值-b^4/c^2。

Answer 2

（一）、设P(ms-c,s)，P(mh-c,h)，由P、Q在椭圆上，即s、h是方程 (mt-c)^2/a^2 t^2/b^2=1 的两根，由韦达定理得 s h=2mcb^2/(b^2*m^2 a^2) ，sh=-b^4/(m^2*b^2 a^2) ；向量 AP=(ms-a-c,s) ，AQ=(mh-a-c,h) ，而向量AP ·向量AQ=(ms-a-c,s)·(mh-a-c,h)=(ms-a-c)(mh-a-c) sh=(1/2)*(a c)^2 ，即 (m^2 1)*s*h-(a c)*(s h) (1/2)*(a c)^2=0 ，联立消去s、h，并整理得 [(e 1)^2]*[(m^2-2)e^2 4e-(m^2 1)]=0（0