已知二次函数f(x)满足条件:f(-1)=0,对一切x属于R有:x≤f(x)≤(1+x²)/2恒成立,则f(x)的最小值为多少

Question

上面是题目，书上解析过程中有一个地方看不懂，从x≤ax²+bx+c≤(1+x²)/2知1≤a+b+c≤1
我想知道这一步是怎么化简的，麻烦写详细些，本人资质愚钝，谢谢了。

Answer 1

对于x≤f(x)≤(1+x²)/2， 令x=1得到1≤f(1)≤1
所以f(1)=1， 所以a+b+c=1
下面回答你的问题：
x≤f(x)≤(1＋x²)/2，则以x=1代入，得：1≤f(1)≤1，则：
f(1)=a＋b＋c=1
f(－1)=a－b＋c=0
由这两个，解得：
b=1/2，a＋c=1/2
则：f(x)=ax²＋(1/2)x＋c
又：x≤f(x)对一切实数恒成立，即：
f(x)－x≥0
ax²－(1/2)x＋c≥0对一切实数恒成立，得：a>0且△=(1/2)²－4ac≤0
a>0且ac≥1/16
因为a=(1/2)－c，则：c[(1/2)－c]≥1/16 ====>>> [c－(1/4)]²≤0，得：c=1/4
从而，a=1/4，则：
f(x)=(1/4)x²＋(1/2)x＋(1/4)，即：
f(x)=(1/4)(x＋1)²

所以，f(x)的最小值是f(-1)=0.

Answer 2

这里当左边=右边时，中间量只能取等号
x=（1+x²）/2得x=1
于是x=1时，左边=1，中间=a+b+c，右边=1【一旦弄懂了这些，解题步骤上就省略了】

Answer 3

很简单，因为y=x和y=(1+x²)/2有交点（1,1），根据题目中的不等式，y=ax²+bx+c一定经过（1,1），带入得a+b+c=1，谢谢！