已知椭圆x^2/2+y^2=1,直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A,B两点,当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程

Question

已知椭圆x^2/2+y^2=1,直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A,B两点,当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程

麻烦会的亲写一下解答过程，谢谢各位了！

Answer 1

设直线为y-2=kx或x=0(舍）
与椭圆方程X^2/2+Y^2=1联立，消y得
X^2/2+(kx+2)^2=1
(k^2+1/2)x^2+4kx+3=0
根的判别式=16k^2-12(k^2+1/2)=4k^2-6>0
k^2>2/3
x1+x2=-4k/(k^2+1/2)
x1x2=3/(k^2+1/2)

两交点距离=根号下(k^2+1)乘以|x2-x1|
=根号下(k^2+1)乘以|x2-x1|

原点到两交点所在直线距离
=|k*0-0+2|/根号下(k^2+1)

三角形面积
=1/2*根号下(k^2+1)乘以|x2-x1|乘以|k*0-0+2|/根号下(k^2+1)
=|x2-x1|
=根号下[(x1+x2)^2-4x1x2]
=根号下[(4k^2-6)/(k^2+1/2)^2]
=根号下[4/(k^2+1/2)-8/(k^2+1/2)^2]
换元,令m=4/(k^2+1/2),m<24/7
则=根号下(m-m^2/2)
=根号下[-1/2(m-1)^2+1/2]最大值在m=1时取到
即4/(k^2+1/2)=1 k=正负2分之根号14时取到
三角形AOB面积最大值=根号下1/2=2分之根号2

思路是这样，计算不一定对

Answer 2

提供你个思路吧，列出直线方程的斜截式，根据公式求得o点到直线的距离与直线被椭圆截得的弦长，求得三角行关于斜率K的表达式，用二次函数求出取得最大值的K值，写出直线方程