行列式的性质:
1、行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。
2、行列式A等于其转置行列式AT。
3、若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和,这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn;另一个是с1,с2,…,сn;其余各行(或列)上的元与|αij|的完全一样。
4、行列式A中两行(或列)互换,其结果等于-A。⑤把行列式A的某行(或列)中各元同乘一数后加到另一行(或列)中各对应元上,结果仍然是A。
拓展:
行列式定义的连加运算中,每一项可以这么理解:
行列式每一行都选出一个数字进行连乘,并且这些选出的数不能是同一列的。次数第二高的式子必须至少有n-1个(λ-aii)。
然而|λI-A|的连加运算中不可能有哪一项包含n-1个(λ-aii)。因为如果存在包含n-1个(λ-aii)的项,那么假设没提供(λ-aii)的那行是第k行。
第k行必须从别的列上取一个数,但是其他的n-1行提供的(λ-aii)把其他的n-1列都占用了并且还在对角线上。这导致第k行只能去第k列取数,而k行k列显然是(λ-akk),存在矛盾。
所以次数第二高的项也在(-1)τ(1,2,···,n)П(λ-aii)中。