满秩和行(列)向量的线性无关有什么区别？

Question

如题所述

Answer 1

无区别，等价。行(列)满秩矩阵等价于矩阵的行(列)向量线性无关,这是对的,它们两个可以互相推得，不需要证明。

解析：

因为矩阵的列秩就是其列向量组的最大线性无关组所含向量的个数,如果矩阵列满秩,则其列向量组的最大线性无关组所含向量的个数一定等于矩阵的行数。即矩阵的列向量组是线性无关的。同样对行也是一样。

证明：

1、分别称为行满秩(r(A)等于A的行数)和列满秩(r(A)等于A的列数)

2、A行满秩则右可逆,即存在B使得 AB=E

3、列满秩则左可逆,即存在B使得 BA=E

4、A列满秩,当且仅当 齐次线性方程组 AX=0 只有零解

5、A行满秩,则非齐次线性方程组 AX=b 有解.

扩展资料

定理

1、向量a1,a2, ···,an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合。

2、一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。

3、两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。

4、三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。

5、n+1个n维向量总是线性相关。【个数大于维数必相关】

参考资料来源：百度百科-满秩矩阵