已知函数y=2asinx(sinx-根号三cosx)+b(a不等于0)的定义域是[0,π/2],值域是[-8,1],求常数a,b的值

Question

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Answer 1

y=2asin²x－2√3asinxcosx＋b
=a(1－cos2x)－√3asin2x＋b
=－2asin(2x＋π/6)＋a＋b
因为：x∈[0，π/2]，则：
2x＋π/6∈[π/6，7π/6]
得：sin(2x＋π/6)∈[－1/2，1]
(1)若a>0，则：
a＋a＋b=1且－a＋b=－8
得：a=3、b=－5
(2)若a<0，则：
a＋a＋b=－8且－a＋b=1
得：a=－3、b=－2
综合，得：
a=3、b=－5或者a=－3、b=－2

Answer 2

解

y=2asinx(sinx-根号三cosx)+b
=4asinx（1/2sinx-根号三/2cosx)+b
=4asinxsin（x-π/3）+b
=-4a[cos(2x-π/3)-cos(π/3)]/2+b
=-2a[cos(2x-π/3)-1/2]+b
定义域是[0,π/2],
当x=π/6时
函数有最小值
-a+b=-8 （1）
当x=π/2时，有最大值
2a+b=1 （2）
由（1）（2）可解得
a=3，b=-5

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Answer 3

y=2asinx(sinx-√3cosx)+b=2asin^2x-2a√3sinxcosx+b=a(1-cos2x-√3sin2x)+b
=a[1-2sin(2x+π/6)]+b
-8=b
1=2a+b , a=9/2, b=-8

Answer 4

如下：

a>0

若a<0

b-a=1

b+2a=-8

a=-3

b=-2