向量，四面体体积

Question

如题所述

Answer 1

坐标系已经建立，四面体ABCD的四个顶点已经给出坐标，
A(2,-1,1)
B(5,5,4)
C(3,2,-1)
D(4,1,3)，
设D为原点，向量DA、DB、DC的三向量分别为向量a，b，c，所求四面体的体积V就是V=|(a×b)·c|/6。
向量a=向量DA=(2-4,-1-1,1-3)=(-2,-2,-2),
向量b=向量DB=(5-4,5-1,4-3)=(1,4,1),
向量c=向量DC=(3-4,2-1,-1-3)=(-1,1,-4),
V=(1/6)*
|-2
-2
-2|
|1
4
1|
|-1
1
-4|
或者不用上述向量法，使用四个点的坐标值，直接使用公式求出四面体的体积V:
V=(1/6)*
|2
-1
1
1|
|5
5
4
1|
|3
2
-1
1|
|4
1
3
1|.