证明一个数学题

Question

在平面几何中，对于Rt△ABC，设AB=c,AC=b,BC=a，则
（1）a2+b2=c2；
（2）cos2A+cos2B=1；
（3）Rt△ABC的外接圆半径为r=根号a^2+b^2+c^2/2.
把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；如果你能证明，写出证明过程;如果在直角三角形中你还发现了异于上面的结论，试试看能否类比到空间？
思路解析：考虑到平面中的图形是直角三角形，所以应在空间中选取有三个面两两垂直的四面体来类比，利用直角三角形的有关性质，通过观察四面体的结构，比较二者的内在联系，从中类比出四面体的相似命题提出猜想.
解：选取3个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象.
(1)设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1、S2、S3，底面面积为S，则S12+S22+S32=S2.
(2)设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α、β、γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=1.
(3)设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a、b、c，则这个四面体的外接球的半径R=根号a^2+b^2+c^2/2..
证明空间中的三个命题，谢谢。

Answer 1

设底面三角形为ABC, 直角顶点为D.
在直角三角形BDC中过D作DE垂直交BC与E, 连AE有AE垂直于BC(三垂线定理).
(1)BDC的面积S1=BC*DE/2, BAC的面积S=BC*AE/2.
于是S^2-S1^2=BC^2*(AE^2-DE^2)/4=BC^2*AD^2/4 (由ADE是直角).
又由BDC为直角, BC^2=DB^2+DC^2, 代入得S^2-S1^2=DB^2*AD^2/4+DC^2*AD^2/4.
注意到CDA面积S2=DC*AD/2, ADB面积S3=DB*AD/2.
即得S^2=S1^2+S2^2+S3^2.
(2)由上面证明的中间结果S1/S=DE/AE=cosα(DEA等于该二面角).
类似可得S2/S=cosβ, S3/S=cosγ.
于是将(1)所证等式除以S^2即得(cosα)^2+(cosβ)^2+(cosγ)^2=1.
(3)设四面体DABC的外心为O, M为AD中点.
由OA=OD, 有OM垂直于AD, 又AD垂直于平面BDC, 所以直线OM与平面BDC平行, O到平面BDC的距离等于MD=AD/2=a/2. 同理O到平面CDA与平面ADB的距离分别为b/2与c/2.
作OO2垂直交平面CDA于O2, 则O2M与AD垂直(三垂线逆定理), O2M与平面ADB垂直(因为侧面两两垂直). 有O2M=c/2, OO2=b/2, 于是OM^2=(b^2+c^2)/4.
进一步R^2=OD^2=MD^2+OM^2=(a^2+b^2+c^2)/4.
故R=(a^2+b^2+c^2)^(1/2)/2.追问

哪些三角形是直角三角形？

追答

ADB, BDC. CDA是直角.
其余直角只出现在中间过程.

Answer 2

边长为c的正方形可以看作是由4个直角边分别为a、b，斜边为c 的直角三角形围在外面形成的。因为边长为c的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式c²+4×1ab/2=(a+b)²，化简得a²+b²=c²。

Answer 3

(1)BDC的面积S1=BC*DE/2, BAC的面积S=BC*AE/2.
于是S^2-S1^2=BC^2*(AE^2-DE^2)/4=BC^2*AD^2/4 (由ADE是直角).
又由BDC为直角, BC^2=DB^2+DC^2, 代入得S^2-S1^2=DB^2*AD^2/4+DC^2*AD^2/4.
注意到CDA面积S2=DC*AD/2, ADB面积S3=DB*AD/2.
即得S^2=S1^2+S2^2+S3^2.
(2)由上面证明的中间结果S1/S=DE/AE=cosα(DEA等于该二面角).
类似可得S2/S=cosβ, S3/S=cosγ.
于是将(1)所证等式除以S^2即得(cosα)^2+(cosβ)^2+(cosγ)^2=1.
(3)设四面体DABC的外心为O, M为AD中点.
由OA=OD, 有OM垂直于AD, 又AD垂直于平面BDC, 所以直线OM与平面BDC平行, O到平面BDC的距离等于MD=AD/2=a/2. 同理O到平面CDA与平面ADB的距离分别为b/2与c/2.
作OO2垂直交平面CDA于O2, 则O2M与AD垂直(三垂线逆定理), O2M与平面ADB垂直(因为侧面两两垂直). 有O2M=c/2, OO2=b/2, 于是OM^2=(b^2+c^2)/4.
进一步R^2=OD^2=MD^2+OM^2=(a^2+b^2+c^2)/4.
故R=(a^2+b^2+c^2)^(1/2)/2.追问

哪些三角形是直角三角形？

Answer 4

好难