高数题计算题，求步骤

Question

如题所述

Answer 1

Answer 2

1.x-->0时1/x-1/(e^x-1)
=(e^x-1-x)/[x(e^x-1)]
-->(x^2/2)/(x^2)
-->1/2.
注：e^x=1+x+x^2/2!+……
2.原式-->5x/(x-2x)=-5.
3.仿1，原式-->[(2x)^2/2]/x^2-->2.
4.原式-->[x-(x-x^3/3!)]/x^3-->1/6.
5.一楼已做。
6.dy=sinxdx+xcosxdx.
7.原式=∫√(x^2+1)d(x^2+1)
=(2/3)(x^2+1)^(3/2)+c.
余者仿7.

Answer 3

(1). x→0lim(1/x)-1/[(e^x)-1]【∞-∞型】
= x→0lim[(e^x)-1-x]/x[(e^x)-1]【0/0型用洛必达】
= x→0lim[(e^x)-1]/[(e^x)-1+xe^x]【0/0型】
=x→0lim[(e^x)/(e^x+e^x+xe^x)]=x→0lim[(e^x)/(2+x)e^x]=x→0lim[1/(2+x)]=1/2；
(2)。x→0lim[ln(1+5x)]/(x+sin2x)【0/0型】=x→0lim[5/(1+5x)]/(1+2cos2x)=5/3；
(3). x→0lim[e^(2x)-2x-1]/x²【0/0型】= x→0lim[2e^(2x)-2]/(2x)【0/0型】
=x→0lim[4e^(2x)]/2=2;
(4). x→0lim[(x-sinx)/(x²sinx)]【0/0型】=x→0lim[(1-cosx)/(2xsinx+x²cosx)]【0/0型】
=x→0lim[(sinx)/(2sinx+2xcosx+2xcosx-x²sinx)]【0/0型】
=x→0lim[x/(2x+4xcosx-x³)]=x→0lim[1/(2+4cosx-x²)]=1/6；
(5). y=lnx；y'=1/x； y''=-1/x²；
(6). y=xsinx；dy=(sinx+xcosx)dx；
(7). ∫[2x√(x²+1)]dx=∫[√(x²+1)]d(x²+1)=(2/3)√(x²+1)³+C;
(8)。∫[(e^x)/(1+e^x)]dx=∫[d(1+e^x)]/(1+e^x)=ln(1+e^x)+C;
(9). ∫e^(√x)dx【√x=u，则x=u²，dx=2udu】=2∫(e^u)udu=2∫ud(e^u)
=2[ue^u-∫e^udu]=2[ue^u-e^u]+C=2(u-1)e^u+C=2[(√x)-1]e^(√x)+C;
(10). ∫<0,1>xe^x²dx=(1/2)∫<0,1>e^x²d(x²)=(1/2)e^x²∣<0,1>=(1/2)-(1/2)=0;
(11). ∫<1,e>[(lnx)/x]dx=∫<1,e>(lnx)d(lnx)=[(1/2)ln²x]∣<1,e>=1/2;
(12), ∫<0,π>xcosxdx=∫<0,π>xd(sinx)=xsinx-∫sinxdx=(xsinx+cosx)∣<0,π>=-1-1=-2；