X→0时，arctanx～X。
令arctanx＝y，x＝tany，x趋于0时，y趋于0，因此 lim arctanx/x＝lim y/tany＝lim ycosy/siny =lim cosy/(siny/y)＝1。即arctanx～x。
等价无穷小在求极限时有重要应用，定理如下：
设在x的某一变化过程中，α和β都是无穷小，且α~α‘，β~β’， 存在（或为正无穷）。
则：lim a/b=lim a'/b'
等价无穷小是无穷小的一种。在同一点上，这两个无穷小之比的极限为1，称这两个无穷小是等价的。等价无穷小也是同阶无穷小。从另一方面来说，等价无穷小也可以看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展开公式。
等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。
求极限时，使用等价无穷小的条件：
（1）被代换的量，在取极限的时候极限值为0；
（2）被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。
扩展资料：
当x→0时，等价无穷小：
（1）sinx~x
（2）tanx~x
（3）arcsinx~x
（4）arctanx~x
（5）1-cosx~1/2x^2
（6）a^x-1~xlna
（7）e^x-1~x
（8）ln(1+x)~x
（9）(1+Bx)^a-1~aBx
（10）[(1+x)^1/n]-1~1/nx
（11）loga(1+x)~x/lna
无穷小的性质：
（1）无穷小量不是一个数，它是一个变量。
（2）零可以作为无穷小量的唯一一个常量。
（3）无穷小量与自变量的趋势相关。
（4）有限个无穷小量之和仍是无穷小量。
（5）有限个无穷小量之积仍是无穷小量。
（6）有界函数与无穷小量之积为无穷小量。
（7）恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。