求解图中数列的通项公式

Question

如题所述

Answer 1

先写几项，总结规律，猜想a2n-1的通项，再求出a2n，再证明

追问

你这有点模糊😂

追答

好的

写几项看看就好猜了

追问

你这个不对吧 套入你最后的公式算a2=9

Answer 2

易知a[2]=13

与此同时

a[n]+a[n-1]=2(n-1)²+6(n-1)+9=2n²+2n+5

将已知的递推公式与之相减

a[n+1]-a[n-1]=4n+4

所以a[n]-a[n-2]=4(n-1)+4=4n

{由此可知，这是一个由2个数列拼凑出来的数列，一个是奇数项，一个是偶数项}

当n=2k-1 (k∈N*)时

a[n]-a[n-2]=4n

a[n-2]-a[n-4]=4(n-2)=4n-8

a[n-4]-a[n-6]=4(n-4)=4n-16

......

a[3]-a[1]=12

上述所有项左右相加

a[n]-a[1]=4n+(4n-8)+(4n-16)+...+12

{右边可看作首项为12，公差为8的等差数列的前n项和，项数是(n-1)/2}

a[n] - 4=12*[(n-1)/2]+[(n-1)/2][(n-1)/2 -1)*8/2=n²+2n-3

a[n]=n²+2n+1

当n=2k (k∈N*)时

a[n]-a[n-2]=4n

a[n-2]-a[n-4]=4(n-2)=4n-8

a[n-4]-a[n-6]=4(n-4)=4n-16

......

a[4]-a[2]=16

上述所有左右相加

a[n]-a[2]=4n+(4n-8)+(4n-16)+...+16

{这一步和奇数的处理一样，但是注意这里的项数是(n-2)/2,千万别变成n/2}

a[n]-13=16*[(n-2)/2]+[(n-2)/2][(n-2)/2 -1)]*8/2=n²+2n-8

a[n]=n²+2n+5

经检验，a[1]和a[2]均符合上述两式 {这句话别漏了，因为递推的过程中我们默认a[n]-a[n-2]，而a[0],a[-1]是不存在的，所以a[1],a[2]应分别代入奇数公式，偶数公式分别验证}

综上所述

a[n]=n²+2n+1 (n=2k-1,k∈N*)

a[n]=n²+2n+5 (n=2k,k∈N*)

追答

希望题主有看到本回答

追问

看到的 昨晚太晚了 我没来得及去慢慢看消化😂辛苦啦 写了这么多

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