已知直线x-2y+2=0经过椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左顶点...

Question

已知直线x-2y+2=0经过椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x=103分别交于M，N两点． （1）求椭圆C的方程； （2）求线段MN的长度的最小值．

Answer 1

解：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（-2，0），上顶点为D（0，1），
∴a=2，b=1，
故椭圆C的方程为x24+y2=1．
（2）直线AS的斜率k显然存在，且k＞0，故可设直线AS的方程为y=k（x+2），从而M(103，163k)．
由y=k(x+2)x24+y2=1得（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0．
设S（x1，y1），则(-2)•x1=16k2-41+4k2得x1=2-8k21+4k2，从而y1=4k1+4k2．
即S(2-8k21+4k2，4k1+4k2)，又B（2，0）
由y=-14k(x-2)x=103得x=103y=-13k，∴N(103，-13k)，
故|MN|=|16k3+13k|，
又k＞0，∴|MN|=163k+13k≥216k3•13k=83．当且仅当16k3=13k，即k=14时等号成立
∴k=14时，线段MN的长度取最小值83．