函数压轴题：已知二次函数y=ax2+bx-4m(a>0)与x轴负半轴交于点A，与Y轴负半轴交于点B,

Question

正方形ABCD的边AD与y轴正半轴交于E（0，m) (1)用含m的代数式表示点A的坐标；（2）如果二次函数y=ax2+bx-4m(a>0) 与x轴的另一个交点为F，且CF垂直于x轴，求ma的值 (3)如果另一个二次函数y=x2+bx-4m与正方形的四条边（包括端点）始终都有五个交点，求m的取值范围。

Answer 1

二次函数y=ax^2+bx-4m(a>0)图像与Y轴负半轴交于点B（0，-4m),m>0,
正方形ABCD的边AD与y轴正半轴交于E（0，m),
∴OA^=OB*OE=4m^,OA=2m,A(-2m,0).
(2)把△BAO绕B旋转至△BCO',
则BO'⊥y轴，BO'=BO=4m,O'C=OA=2m,
∴O'(4m,-4m),C(4m,-2m).
y=ax^2+bx-4m(a>0) 与x轴的另一个交点为F，且CF垂直于x轴,
∴F(4m,0),
∴ax^2+bx-4m=a(x+2m)(x-4m)=ax^2-2amx-8m^2,
比较常数项得-4m=-8m^2,m>0,m=1/2.
(3)直线AB:y=-2x-4m与抛物线y=x^2+bx-4m交于B(0,-4m),G(-b-2,*)
直线BD:y=(1/2)x-4m与抛物线y=x^2+bx-4m交于B(0,-4m),H(1/2-b,*)
二次函数y=x^2+bx-4m的图像过点B,与正方形的四条边（包括端点）始终都有五个交点,
<==>G,H分别在边AB,BD的内部，
<==>-2m<-b-2<0<1/2-b<4m,
∴-2<b<1/2,为此，4m<=1/2-(-2),又m>0,
∴0<m<=5/8,为所求。

Answer 2

第一问A(-2m,0)根据三角形AOE相似于BOA可以得到

第二问在第一问的基础上运用三角形DAM相似于FCM（M点为CD与x轴的交点）就可以求出F点的坐标，然后代入抛物线就能求出答案

第三问首先要知道这个抛物线肯定过B点，
然后需要考虑A和C这两个点的临界点，意思就是根据图中的抛物线左边的线往中间靠拢就会有两个交点（这样就有五个了），右边的线往外展开的话到只跟C点相交（这样最多只有四个交点），所以考虑这两个临界点就可以了。