20.已知函数y=(x3+2x2)e2x求微分dy.

Question

如题所述

Answer 1

【题目】

【求解答案】

【求解思路】

1、运用乘法分配律，对(x³+2x²)e^(2x)展开计算，即x³e^(2x)+2x²e^(2x)

2、运用微分加减法运算法则，d(u±v)=du±dv，展开计算

3、运用微分乘法运算法则，d(u·v)=vdu±udv，展开计算

4、然后化简合并计算

【求解过程】

【本题知识点】

1、乘法分配律。乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。

(a+b)×c=a×c+b×c

a×c+b×c=(a+b)×c

一般在有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。乘法分配律还可以用在小数、分数的计算。

2、微分。微分是一个变量在某个变化过程中的改变量的线性主要部分。若函数y=f(x)在点x处有导数f'(x)存在，则y因x的变化量△x所引起的改变量是△y=f(x+△x)-f(x)=f'(x)·△x+o(△x)，式中o(△x)随△x趋于0。因此△y的线性形式的主要部分dy=f'(x)△x是y的微分。 可见，微分作为函数的一种运算，是与求导（函）数的运算一致的。

微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。

3、微分的几何意义

设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲 线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δx|要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

4、微分的运算法则

1）微分基本法则

2）连锁律

3）乘法律

4）除法律

Answer 2

我们可以使用链式法则对该函数进行微分。
首先，将函数y表示为两个函数的复合：u = x3 + 2x2 和 y = e2x。即 y = f(u) 和 u = g(x)。
然后，对y对x求导可得：
dy/dx = (dy/du) * (du/dx)
我们需要分别求出du/dx和dy/du。
(1) 求du/dx：
u = x3 + 2x2
du/dx = 3x2 + 4x
(2) 求dy/du：
y = e2x
dy/du = d/dx (e2x)
= 2e2x
因此，将(1)和(2)代入链式法则公式，可得：
dy/dx = (dy/du) * (du/dx)
= 2e2x * (3x2 + 4x)
= 6x2e2x + 8xe2x
因此，函数y=(x3+2x2)e2x的微分为dy/dx = 6x2e2x + 8xe2x。

希望对你有帮助

Answer 3

这里就是乘法求导法则的运用
y=(x³+2x²)* e^2x
于是求导得到
y'=(x³+2x²)'* e^2x +(x³+2x²)* (e^2x)'
显然(x³+2x²)'=3x²+4x
而(e^2x)'=2e^2x
于是代入得到
y'=(3x²+4x)* e^2x +(x³+2x²)* 2e^2x
=(2x³+7x²+4x)* e^2x
即微分dy=(2x³+7x²+4x)* e^2x dx

Answer 4

y=(x³+2x²) e²ˣ
dy=y'dx

dy=[2(x³+2x²)+(3x²+2x)] e²ˣdx
dy=(2x³+7x²+2x) e²ˣdx

Answer 5

y = (x^3+2x^2)e^(2x)
y' = (3x^2+4x)e^(2x) + 2(x^3+2x^2)e^(2x) = (2x^3+7x^2+4x)e^(2x)
dy = (2x^3+7x^2+4x)e^(2x)dx