曹操去世后，其谥号为武（当时他还不是皇帝，所以只是“魏武王”）。等到他儿子
曹丕搞定了
汉献帝，自己登基称帝之后，追封曹操为皇帝，谥号还是武（这时候，曹操才是“魏武皇帝”），立庙号为太祖。
所以曹操从谥号来说，是魏武皇帝（简称
魏武帝），从庙号来说，是魏太祖。
至于他谥号为何选择“武”？
古人谥号主要是根据所谓
周公谥法释义：谥号为“武”的理由有以下这几条（只要符合一条及以上的，就可以用），可以用此来对照一下曹操的生平功绩：
1）刚彊直理曰武。刚无欲，强不屈。怀忠恕，正曲直。
（这条，老曹只算符合一半：刚强足够，忠直不符，毕竟是把汉献帝架空的人）
2）威彊敌德曰武。与有德者敌。
（这条，老曹也只符合一半：威权和强大方面足够，德差点）
3）克定祸乱曰武。以兵征，故能定。
（这条，老曹完美符合：汉末天下大乱的局面，主要是靠曹操带兵平定的，虽然最终没有扫平天下，但好歹是安定了整个北方--当时华夏文明核心区还是在北方中原大地，一直到两晋天下大乱时，才慢慢南移）
4）刑民克服曰武。法以正民，能使服。
（这条，老曹也完美符合：平定天下不能单靠武力征伐，曹操及其所领导的政权，制定和实施了一系列严格而有效的规章制度，扩大屯田、兴修水利、奖励农桑、重视手工业、安置流民、实行“租调制”等等，最终促进了中原地区经济生产和社会稳定）
5）夸志多穷曰武。大志行兵，多所穷极。
（这条，一般是贬义，比如讽刺
汉武帝喜欢穷兵黩武，但对曹操来说，他终其一生并没完成统一事业，所以曹操只能长期处于行兵打仗阶段，属于客观形势所迫，这方面应该扣不上穷兵黩武的帽子）。
所以，我们综合所有谥法条目来看曹操，他最终谥号“武”，还是很符合谥法定义的。