矩阵的秩和其伴随矩阵的秩有什么关系？

Question

矩阵的秩和其伴随矩阵的秩有什么关系？我这里有一道题：五阶方阵秩为四，其伴随矩阵秩是多少？鄙人对线代真的很无语，原谅我的智商……

Answer 1

当r(A)=n时，|A|≠0,所以|A*|≠0，所以r(A*)=n；当r(A)=n-1时，|A|=0，但是矩阵A中至少存在一个n-1阶子 式不为0【秩的定义】，所以r(A*)大于等于1【 A*的定义 】     

设A是n阶矩阵，若r（A） = n, 则称A为满秩矩阵。但满秩不局限于n阶矩阵。若矩阵秩等于行数，称为行满秩若矩阵秩等于列数，称为列满秩。既是行满秩又是列满秩则为n阶矩阵即n阶方阵。

扩展资料

行列式的值与把矢量写成列向量横排还是行向量竖排的方式是无关的。这也就是为什么说，在计算行列式时，行和列的地位是对等的。

并且注意到，由上述分析，交换矢量的顺序，面积的值取负号，这也就是为什么行列式中，交换列向量或者行向量一次，就要取一次负号的原因。

另外，行列式的其他计算性质，都一一反映在面积映射的线性性之中。  由此我们可见，行列式就是关于“面积”的推广。他就是在给定一组基下，N个向量张成的一个N维广义四边形的体积。这就是行列式的本质含义。

设A是n阶矩阵，若r（A） = n, 则称A为满秩矩阵。但满秩不局限于n阶矩阵。若矩阵秩等于行数，称为行满秩若矩阵秩等于列数，称为列满秩。既是行满秩又是列满秩则为n阶矩阵即n阶方阵。

Answer 2

设A是n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，两者的秩的关系如下：
r(A*) = n, 若r(A)=n
r(A*)=1, 若r(A)=n-1；
r(A*)=0，若r(A)<n-1;
证明如下所示：
若秩r(A)=n，说明行列式|A|≠0，说明|A*|≠0，所以这时候r(A*)=n；
若秩r(A)<n-1，说明，行列式|A|=0，同时，矩阵A中所有n-1阶子式均为0，即行列式|A|的所有代数余子式均为0，所以这时候r(A*)=0;
若秩r(A)=n-1，说明，行列式|A|=0，但是矩阵A中存在n-1阶子式不为0，对此有：
AA*=|A|E=0

从而r(A)+r(A*)小于或等于n，也就是r(A*)小于或等于1，又因为A中存在n-1阶子式不为0，所以Aij≠0，得r(A*)大于或等于1，所以最后等于1.本回答被网友采纳

Answer 3

一个方阵与其伴随矩阵的秩的关系：
1、如果 A 满秩，则 A* 满秩；
2、如果 A 秩是 n-1，则 A* 秩为 1 ；
3、如果 A 秩 < n-1，则 A* 秩为 0 。（也就是 A* = 0 矩阵）本回答被网友采纳

Answer 4

矩阵秩=n时，伴随=n;秩=n-1时，伴随=1;秩小于n-1时，伴随=0

Answer 5

假设是n阶矩阵，矩阵的秩为n时，伴随矩阵秩也是n，这个很简单，因为矩阵可逆，所以行列式非零矩阵的秩是n-1时，伴随矩阵的秩是1，这个可以把矩阵经过初等变换化成标准型，而初等变换不改变矩阵的秩以及其伴随的秩，化成标准型后轻松看出伴随的秩是1矩阵的秩小于n-1时，伴随的秩是0，因为原矩阵的任意一个n-1阶子阵都是0，所以伴随矩阵是零矩阵，从而秩是0