识竞赛上的获奖论文。
标准体重数学模型的建立及计算公式推导
北京师大二附中
沈一
摘
要
本文根据我国公布的“中国正常男人、女人身高体重表”，从大量实测数据出发，建立了身高和体重关系的数学模型；利用数学计算工具软件Mathematica4，推导出了一组可由身高、年龄计算标准体重的公式，该公式与实测数据间的偏差仅为目前国内外较流行的其他公式偏差的1/30-1/50。在此基础上又进一步提出了便于记忆和计算的普及公式，其偏差也仅为国内外较流行的其他公式偏差的1/6-1/9，故有明显的普及推广价值。
一、引言
体重是与人体健康状况相关的重要参数，过高的体重经常与冠心病、高血压、糖尿病等某些现代文明病的发病密切相关，而过低的体重则可能提示营养不良及其他某些疾病的存在。经常监测自己的体重，并通过膳食、运动等手段使之保持在最佳水平，是保证身体健康，提高生活质量的一个重要方面。但目前使用较广泛的几个公式均不够理想，普遍存在着过大的偏差。因此，迫切需要一个科学、简便的“标准体重计算公式”。
本文根据我国公布的“中国正常男人、女人身高体重表”[1]，从大量实测数据出发，建立了身高和体重关系的数学模型；利用数学计算工具软件Mathematica4，推导出了一组可由身高、年龄计算标准体重的公式；在此基础上又进一步提出了便于记忆和计算的普及公式*;并经过与现行各公式的对比，证明本文所提出的公式明显比其他公式合理。相信这个公式不仅可以在广大群众中推广，使他们能科学、方便地监测自己的体重，还可以为医学、营养等相关领域的科研、生产单位提供有价值的参考信息。
二、数学模型的建立
数学模型的建立
1、关于主要变量和常数的几个假设
人体是一个极为复杂的系统，一方面没有必要和不可能把所有的因素都考虑在内，另一方面又不能遗漏与体重密切相关的变量。为此，我结合所学过的解剖学知识[2]及自学的数学建模知识[3]，对人体进行全面的分析后提出如下假设：
（1）设体重为w (weight)，身高为h(height)，年龄为a(age)。
（2）因为人体的各器官均是三维的实体，所以其所占据的空间与等效占据的身高的三次方成正比。
（3）从解剖学角度分析，年龄相同而身高不同的男性的头颅和心、肝、肺、肾等脏器的重量不会有多么大的差别，设其总重为w1。而随着年龄的变化，上述各部分的重量所发生的变化却是不可忽视的。因此，设w1=f1(a)，其中f1(a)是一个关于年龄a的函数。
公式基本形式的确定
在上述设定及定义的基础上，初步建立公式形式如下：
由于w1与身高无关，而身体其余部分的重量（w - w1）与其所占的身高（即剩余身高h-k）的三次方成正比，所以有：
w - w1=b（h-k）3……………………（1）
其中b为比例系数。由假设可知，b是一个随年龄a的变化而变化的值，设b= f2(a) 。将w1=f1(a)和b= f2(a)代入（1）式并整理，得出如下的公式基本形式：
w= f2(a)（h-k）3 +f1(a) ……………（2）
由于其中k、f1(a)、f2(a)等各未知量均相当复杂，不可能由理论导出，所以只能通过对实测数据的数学分析来对公式中的各个量的取值进行确定。
三、分年龄组精密计算公式的确定
实测数据的统计结果如表1。本文以各组的中值年龄为该组年龄代表值，利用工具软件，依据上面所建立的基本公式（2），通过曲线拟合求出各年龄组的精密计算公式。为了检验函数拟合的准确程度，根据最小二乘法[4]，定义：
……………（3）
其中f(h)是拟合得出的函数在身高为h时的体重的值，而wh是此年龄组实测数据中身高为h的样本组的体重均值。显然，d越小，拟合就越准确。
由于在分组公式中，对每一年龄组而言b、w1均为定值，故在公式中需要确定的主要是k的取值。对各年龄组的d-k关系考察的结果如图1所示。
根据公式（2）和上面所确定的k值进行曲线拟合，得出了各年龄组体重精密计算公式（见附录一）。并经与实测数据对比分析，证明了这些公式的准确程度相当理想。
四、不分年龄组的标准体重计算公式的确定
为最终形成一个便于普及推广的公式，我在分年龄组体重精密计算公式基础上，又建立了不分年龄组的标准体重计算的总公式。
1、总公式中k的取值的确定
表2列出了能使所有年龄组的d均小于1（kg2）的k值范围及其最佳取值。可见适用于各年龄组的k的取值范围在86-96之间。又由图1可明显看出，k在90至91这个范围内各拟合曲线的总偏差较小；还可以看出，若在某一年龄组k略小于最适值，偏差只会稍微增大，而若k略大于最适值，偏差却会迅速增大。所以，决定k取90。
确定了k值后，将各年龄组中的身高、体重数据和k=90代入公式（2）。得出各年龄组的拟合曲线方程（见附录二）。可以看出，各方程中f1(a)和f2(a)均随变量a（年龄）的逐渐加大呈现出规律性的变化趋势。
2、f1(a)的确定
以a为横坐标，以附录二中对应的常数项数值为纵坐标作图(图2)。通过对图形的观察分析，分别用二次和三次曲线加以拟合。结果发现三次拟合曲线中的三次项系数非常小(仅为1.6276×10-6），这说明用二次函数拟合完全可以取得很好的效果。所以，将总方程中常数项关于a的函数f1(a)确定为：f1(a)=-0.00373743a2+0.358805a+35.5672。
3、（h-90）3项的系数项f2(a)的确定
用上述确定的f1(a)代替k=90时各年龄组中的常数项，并求出新的一系列曲线拟合方程，得到（h-90）3项的系数（见附录三）。从以a横坐标，附录三中对应的（h-90）3项的系数值为纵坐标所作的散点图（图3）可以看出，这些点不易用低次多项式拟合。于是，我从1次开始逐次加大次数，结果当次数等于4时拟合情况良好。此时f2(a)=-1.51148×10-11x4+1.90112×10-9a3-8.36149×10-8 a2+1.77828×10-6a+0. 0000219731。
至此得出适用于各年龄组的总公式：
w= f2(a)（h-90）3 +f1(a)=（-1.51148×10-11a4+1.90112×10-9a3-8.36149×10-8a2+1.77828×10-6a+0.0000219731）（h-90）3-0.00373743a2+0.358805a+32.5672。
关于各主要计算公式偏差的讨论
由于本文所依赖的数据是由国家权威部门发布的，样本含量相当大，因此，下面所做的偏差分析，均将这份实测数据作为准确的标准体重，偏差都是相对于它而言的。
目前，在国际上比较流行的标准体重的计算公式主要有以下几种：
布洛卡（Broca）公式[1]：h＜165时，w=h-100，h≥165时，w=h-110
琼斯（Jones）公式[1]：w=0.5h-25
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