为什么两个随机变量协方差为正，方差为负？

Question

如题所述

Answer 1

设有两个随机变量 X 和 Y，它们的方差分别为 Var(X) 和 Var(Y)。考虑线性组合 Z = aX + bY，其中 a 和 b 是常数。

线性组合的方差计算公式为：

Var(Z) = a^2 * Var(X) + b^2 * Var(Y) + 2ab * Cov(X, Y)

其中，

Var(Z) 表示线性组合 Z 的方差；

a 和 b 是常数，表示线性组合中每个随机变量的系数；

Var(X) 和 Var(Y) 分别表示随机变量 X 和 Y 的方差；

Cov(X, Y) 表示随机变量 X 和 Y 的协方差。

协方差 Cov(X, Y) 表示两个随机变量 X 和 Y 之间的关联程度。当 Cov(X, Y) > 0 时，X 和 Y 呈正相关关系；当 Cov(X, Y) < 0 时，X 和 Y 呈负相关关系；当 Cov(X, Y) = 0 时，X 和 Y 之间没有线性相关关系。

线性组合的方差计算公式告诉我们，当两个随机变量的协方差为正数时，它们的线性组合的方差相对较大，因为两个随机变量的变化趋势是一致的；而当协方差为负数时，线性组合的方差相对较小，因为两个随机变量的变化趋势是相反的。在实际应用中，了解随机变量之间的关联程度对于分析和处理数据具有重要意义。